圆锥曲线统一定义的应用.doc

文档介绍：圆锥曲线统一定义的应用
一、圆锥曲线的统一定义
椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线,在解题过程中,我们经常用到它们的统一定义:平面内与一个定点和一条定直线的距离之比为常数的点的轨迹,当时,轨迹是椭圆;当时,轨迹是双曲线;当时,,点是曲线的焦点,直线是对应于焦点的曲线的准线,为离心率.
圆锥曲线的统一定义把焦点、准线和离心率巧妙地联系起来,在解相关的题目时,巧妙运用统一定义,能起到化繁为简的作用,使问题简洁明快的得以解决.
二、圆锥曲线统一定义的应用

例1 椭圆上一点到左焦点的距离为6,则点到右准线的距离是多少?
解:由第一定义,点到右焦点的距离为,
再由统一定义,得,
∴,所以点到右准线的距离为.

例2 已知椭圆方程为,右焦点为,为其内部一点,为椭圆上一动点,求点坐标,使最小.
解:如图,由题意得
,,
∴,,
由统一定义知即为到右准线的距离,
因此,要使最小,点除了应在轴的右侧外,还要使与过点且与准线垂直的线共线即可,
由,解得点坐标为.

例3 点与点的距离比它到直线的距离小1,求点的轨迹方程.
解:由题意可知,点与点的距离和它到直线的距离相等,根据定义知,,∴,故点M的轨迹方程是.

例4 在平面直角坐标系中,若方程表示的曲线为椭圆,则的取值范围为( ).
A. B. C. D.
解:已知等式可变形为,此式可看成点到定点的距离与到直线的距离之比为常数,由统一定义知
,所以,故答案为D.