文档介绍：难点33 函数的连续及其应用
,必将这一块内容溶入到函数内容中去,.
●难点磁场
(★★★★)已知函数f(x)=
(1)讨论f(x)在点x=-1,0,1处的连续性;
(2)求f(x)的连续区间.
●案例探究
[例1]已知函数f(x)=,
(1)求f(x)的定义域,并作出函数的图象;
(2)求f(x)的不连续点x0;
(3)对f(x)补充定义,使其是R上的连续函数.
命题意图:函数的连续性,.
知识依托:本题是分式函数,所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图象.
错解分析:第(3)问是本题的难点,(3)问是求的分数函数解析式.
技巧与方法:对分式化简变形,注意等价性,观察图象进行解答.
解:(1)当x+2≠0时,有x≠-2
因此,函数的定义域是(-∞,-2)∪(-2,+∞)
当x≠-2时,f(x)= =x-2,
其图象如上图
(2)由定义域知,函数f(x)的不连续点是x0=-2.
(3)因为当x≠-2时,f(x)=x-2,所以=-4.
因此,将f(x)的表达式改写为f(x)=
则函数f(x)在R上是连续函数.
[例2]求证:方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一个正根,且它不大于a+b.
命题意图:要判定方程f(x)==f(x)的图象是否与x轴有交点,因此根据连续函数的性质,只要找到图象上的两点,满足一点在x轴上方,.
知识依托:解答本题的闪光点要找到合适的两点,使函数值其一为负,另一为正.
错解分析:因为本题为超越方程,因而考生最易想到画图象观察,而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用.
证明:设f(x)=asinx+b-x,
则f(0)=b>0,f(a+b)=a·sin(a+b)+b-(a+b)=a[sin(a+b)-1]≤0,
又f(x)在(0,a+b]内是连续函数,所以存在一个x0∈(0,a+b],使f(x0)=0,即x0是方程f(x)=0的根,也就是方程x=a·sinx+b的根.
因此,方程x=asinx+b至少存在一个正根,且它不大于a+b.
●锦囊妙计
(x)在x0处连续的概念:
等式f(x)=f(x0)的涵义是:(1)f(x0)在x=x0处有定义,即f(x0)存在;(2)f(x)存在,这里隐含着f(x)在点x=x0附近有定义;(3)f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值,即f(x)=f(x0).
函数f(x)在x0处连续,反映在图象上是f(x)的图象在点x=x0处是不间断的.
(x)在点x0不连续,就是f(x)的图象在点x=x0处是间断的.
其情形:(1)f(x)存在;f(x0)存在,但f(x)≠f(x0);(2)f(x)存在,但f(x0)不存在.(3) f(x)不存在.
,可以得到计算函数极限的