文档介绍：§ 实对称矩阵的对角化
除第三章第二节介绍的概念和性质之外,
共轭矩阵还有以下性质:
(7)
(8)
当A为实对称矩阵时,
(9)
当且仅当
时等号成立.
若
则
若复矩阵A可逆,
实对称矩阵是一类很重要的可对角化的矩阵,
它的特征值和特征向量具有下列性质:
性质1
实对称矩阵A的特征值都是实数.
证明:
设
是A的任一特征值,即存在非零向量
P使
要证
是实数,只须证明
即可.
由
得
因
所以
故
当特征值为实数时,齐次线性方程组
是实系数线性方程组,
基础解系,
性质2
实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量
是正交的.
知必有实向量
由
所以对应的特征向量可取实向量.
证
设
是A的两个不同的特征值,
分别是属于
的特征向量(均为实向量),
即有
则
因此,
而
故有
即
正交.
性质3
设A为n阶实对称矩阵,
是A的特征方程
的r重根,
从而对应特征值
恰有r个线行无关的特征向量.
证明略.
一般n阶矩阵未必能与对角矩阵相似,而实对
称矩阵则一定能与对角矩阵相似.
的秩
则方阵
定理6
设A为n阶实对称矩阵,则必存在正交矩阵
P使得
其中
为A的n个特征值。
证
设A的互不相同的特征值为
它们
的重数依次为
根据性质1和性质3知,
恰有
个线性无关的实特征向量,
对应于特征值
把它们标准正交化,
特征向量组,
特征向量共有n个,
并有
其中
为A的n个特征值。
个单位正交的
就可得到
知,
由
这样的
特征值的特征向量是正交的,
向量两两正交,以它们为列向量构成正交矩阵P,
又由性质2知,
A的属于不同
故这n个单位特征
由定理6可知,实对称矩阵的对角化问题,实质上
是求正交矩阵P的问题,计算P的步骤如下:
(1)
(2)
求出齐次线性方
程组
的基础解系,
进行正交化和单位化,得到A对于
的一组
标准正交的特征向量,
的个数恰好是
作为A的特征值的重数;
求出实对称矩阵A的全部特征值
对于各个不同的特征值
对基础解系
这个向量组所含向量
(3)
量构成一组
的标准正交基
(4)
则P为正交矩阵且使得
为对角阵,对角线上的元素为
相应特征向量的特征值。
的所有标准正交的特征向
将
取
例13
设实对称矩阵
求正交阵
解
得特征值