向量平面向量的数量积.doc

文档介绍：第3讲平面向量的数量积
教学目标:.
、模.
.
【复****指导】
本讲复****时,应紧扣平面向量数量积的定义,理解其运算法则和性质,重点解决平面向量的数量积的有关运算,利用数量积求解平面向量的夹角、模,以及两向量的垂直关系.
基础梳理

已知两个非零向量a和b(如图),作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角,当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向;如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.

已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的数量积.

设a、b都是非零向量,e是单位向量,θ为a与b(或e)
(1)e·a=a·e=|a|cos θ;
(2)a⊥b⇔a·b=0;
(3)当a与b同向时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|,特别的,a·a=|a|2或者|a|=;
(4)cos θ=;
(5)|a·b|≤|a||b|.

(1)a·b=b·a;
(2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.

设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为θ,则
(1)a·b=x1x2+y1y2;
(2)|a|=;
(3)cos〈a,b〉=;
(4)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
(x1,y1),B(x2,y2),=a,则|a|=(平面内两点间的距离公式).
备注:
一个条件
两个向量垂直的充要条件:a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
两个探究
(1)若a·b>0,能否说明a和b的夹角为锐角?
(2)若a·b<0,能否说明a和b的夹角为钝角?
三个防范
(1)若a,b,c是实数,则ab=ac⇒b=c(a≠0);但对于向量就没有这样的性质,即若向量a,b,c若满足a·b=a·c(a≠0),则不一定有b=c,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同时乘以一个向量.
(2)数量积运算不适合结合律,即(a·b)c≠a(b·c),这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量,a(b·c)表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,因此(a·b)c与a(b·c)不一定相等.
(3)向量夹角的概念要领会,比如正三角形ABC中,与的夹角应为120°,而不是60°.
双基自测
1.(人教A版教材****题改编)已知|a|=3,|b|=2,若a·b=-3,则a与b的夹角为( ).
A. B. C. D.
解析设a与b的夹角为θ,则cos θ===-.又0≤θ≤π,∴θ=.
答案 C
,b,c为任意向量,m∈R,则下列等式不一定成立的是( ).
A.(a+b)+c=a+(b+c)