文档介绍：复旦大学
硕士学位论文
分形介质上的分式Fokker-Planck方程
姓名:许昀
申请学位级别:硕士
专业:基础数学
指导教师:邱维元
20040505
摘要韐本文研究了一般外势质紽狿方程及其解的性质,,并目在一般外势下它的解可以表示成无量纲相似变罩函数的形式。为了描述有偏非均的分形结构的介质受外力的作用,引进了有偏非均的分式—方程。可以证明有偏非均的分式狿方程服从广义关系,其稳定解是广义/分布。并且其渐近解是伸展的模猿J坪鸵话阃馐圃原点有单一的极性,可以表示成无量纲相似旁量甬数的形式。关键词:奇异扩散、分式—方程,分数次导数:】:琭簊甶—閟.、.儿縰”—畇
百甑娶箨迹碹酰瓦蕖祝型:Ⅳ笔⋯碱一觫朊琻”⋯疛”!#引言§,看痈怕实慕嵌龋盟婊巫吣P兔枋隽司涞睦┥其中住是扩散过程的概率密度函数。若标准化Ⅳ∽瑃痜。,￡【】,和『肍狿二定律.:血一/∽。,根据年的№热传导定律,紫雀隽死┥⒐痰氖枋鰂第其中∞,是浓度,硎纠┥⒊J是等价的。⑾至艘桓鲋匾5墓叵担殖莆狤数,即初始条件二钡慕馐荊的§过程。数学方程是抛物型偏微分方程则方程和其中≈荁叫常数,丁是温度,是质量,悄Σ料凳@┥⒎匠痰腉函相应的轿灰朴胧奔涞囊览倒叵登沂窍咝怨叵绞荁运动的特征。也是中心极限定理和随机过程誯性的真接程研究了外力场下的┥⒐其中是外势,是外力。主要的结果有:—关推论。~
㈤,坏龋炊豢趛,谕馐剖浅J摹篢吕矗琕《:,相应的扩散过程服从第日瑃覩分布.。.符合,不再遵循臣蒲В現牡诙刹荒苊枋稣饫嗬┥⒐獭L乇地,通过实验可以观察到均方位移和时间不再是线性关系。因此我们称此类南于宽的分布统こ滔喙—,在§。稳定解鹒—"觯。,服从狟分其中籿是标准化常数,,因子肛;ā猄甋叵党闪广义关系成立其中表示在常数力饔孟碌囊唤拙亍随着科学技术的发展,物理学家研究了复杂系统的结构及其动力学性质。这些系统有如下特征『镜ピ5拇罅慷嘌裕单元之间的强相互作用,钪詹豢稍ぜ浴物理学家们发现复杂系统中的扩散过程实验结果与经典的扩散过程不扩散过程为奇异扩散。在很多复杂系统中,均方位移和时间￡呈指数关系所表现的奇异扩散不再服从中心极限定理。械哪幔枪阋謇┥⑾凳簁’、。
。矿讥丽琽‘等转抚㈣一鼍暑晡,斋‰以擦系数,其量纲‰】琺表示扩散粒子的质量。。┥⒊J崾瞧嬉炷【,中渭负尾返拇瑀,】,聚合网络中的磁珠动力学,—”等引进了各种分式琣,其中是外势量纲【】一腹讨械暮舜殴【,谕馐莆3J那樾蜗拢轿灰坪褪奔涞墓叵凳§』引言。瞧嬉炖┥⒅甘8的值可以将奇异扩散分成以下几类。次扩散硕超扩散次1曜嫉膅扩散过程。在下列讨论中,我们重点讨论次扩散过程,对应的是,《鼯撮,嗫咨透系统在前人的基础上,人们进行了大量的研究。利用狶分数次微积分,方程研究次扩散过程。其鹊姆质紽狿匠炭赡苁晟适合实际的。分式—方程由下式给出:瑃;’,用于砑究带外势的次扩散过程。其中。,幻是在点。和时间￡的概率密度函数琇是—阕樱ㄒ迦缦质蔚际阕樱ㄒ迦缦其主要结果如下:.】篺
ⅲ絜籭甄:堕慕馀危簅,服从伸分布,且可以表示这里瞧嬉炖┥⒅甘琩墙橹实姆中挝/唬,“⑶襮荕狶函数,风是项式,。梗瑃玹’.//∥籧×/为无毒纲相似变量:一,∥暮蜳:瑃,】/。在常数力的作用下,广义叵】闪ⅰ辏芸趇式方程慕ソ猓琋疿~!┦怯胪馐苰泄氐某J由此可以看出,一般外势下的Ⅳ#瑃伸展的植比较化当∈/》保颐腔沟玫浇ソ甘煺孤/聊,怯杉妒问礁龅模岩悦枋隼┥⒐讨械慕ソ形#,一一噬。引言与是符台的。稳定解服从植肌阋錏甋甋叵党闪解析表达式。其中分离变量法对一般的势就不再有效。那么,在一般的外势下,分式—,保这种现象被认为是奇异扩散的普适现象。解
地≯霹。~万!,艇:塑呱。扩琭一卜一/,。,≈垡∥,,ι吓蚖,,是一个阕樱J怯衅ǚ蔷式橹噬系睦┥⑾凳2⑶椅颐强】我们还得到,￡赜谖蘖扛傧嗨票淞//泶锸鳌⋯/~￡△矿⋯/~”.△⋯/~;一,§上面讨论的是在均质分形介质、七的奇异扩散过程,其均方位移只依赖时间胛恢谩N薰亍7蔷式橹噬系钠嬉炖┥⒐蹋渚轿灰苹挂览涤谖另外还有一种有偏分形介质上的扩散过程,其均方位移的平方根由下式给更一般地,在有偏非均质介质钠嬉炖┥⒌,——关系仍然成立并且方程慕馊跃煞由煺沟腉分布。置变量∞。如出『—。