文档介绍：复旦大学
硕士学位论文
分形介质上的分数次扩散方程
姓名:邹富
申请学位级别:硕士
专业:基础数学
指导教师:邱维元
20040420
摘要我们推导了一个外力场下的高维分数次扩散方程,用来描述分形介质论了解的渐近行为。复旦大学硕士学位论文上的传输现象。对于常数势和一般势的情形,我们给出了方程的解,并讨壹噼幅鬻、飘断J关键词:扩散方程,质蔚际ソ形琣:甌,甃
幻杀韭尬嘉—:#.第一章引言、⋯其中代表外势,它与外力的关系为。一。琺表示扩散质点的质量,卵硎纠┥⒅实阌肜┥⒔橹手涞哪Σ料凳癖硎纠┥.这里,瑃硎臼笨蘴时扩散质点在位置茁的概率密度,算子定义为固扩散现象在物理学中属于非平衡态统计力学的范畴。扩散现象是一种常见的物理现象,例如将一滴墨水滴入一杯纯挣的水中。如果我们将墨水想象为由很多粒子组成,那么每个粒子都在水分子的作用下作像一个巨分子悬浮在流体中,其运动速度要比一般分子的运动速度小分子的碰撞次数是次。在这样频繁的碰撞下,W拥乃彩痹硕是无法观察到的,在显微镜下观察到的只是在宏观短时间内的平均运动,W拥奈灰撇还且恢质S嗟恼锹涠选R蛭U庑┱锹湮颐无法确切的知道粒子的位景,但粒子在某一区域内出现应该有相应的概率。匠贪镏颐侨范苏飧龈怕省方程最初也是应用于对硕睦砺劢馐汀K男问饺缦拢个广泛应用的方程,可以用W游@赐频迹ú唤鼋鱿抻诮动。W邮潜确肿哟蠹甘虮兜牧W樱闹本对嘉懊住K得多。假设粒子是球形,可以计算出在液体中的W用棵胫邮艿常数。匠趟枋龅氖歉从谖⑿〉囊蛩氐恼锹洹K且释W拥那榭觥挑‘、’】
б恢·”匠蘙乒愕腖匠蘙浚的方程【】,乒愕娜韧臣屏ρ】。体,甚至是生态系统中都有相应的例子】.2还嬖蚶┥⑹紫缺蝗嗣侵5三籺瑈瑃灰籆·/“这里疪》瑃叶#唬瑈8返厮担永┱沟母咚狗这里疪》瑃斗,且桓龃ǖ牟问墒撬悸【】,乒愕睦┥⒎匠蘙】,,如果扩散介质是分形,即在是在年关于湍流扩散的论文【中。在输运理论中它的研究从上个世纪年代开始。特别要提到的是,蚆圆欢ㄐ伟氲体色散传输的理论描述使得不规则扩散的理论研究得到广泛的关注籟不规则扩散的特征是它的均方位移有如下的形式:.这里表示质点在￡时刻离开笨痰奈恢玫木断蚓嗬搿5时,它度上导致了均方位移在整个时间尺度上的随机游走的不规则行为。人们希望建立理论来解释概率密度瑃慕ソ灾省8怕拭度瑃腥缦碌慕ソ灾剩的分形介质的分形维数。不规则扩散已有的模型包括:质蔚腂运动乒不规则扩散的情形,我们如何进行描述率瞪希还嬖蚶┥⑹歉F毡的情形,在大量的系统,如液晶,聚合体,蛋白质,生物高聚体,有机描述的是规则扩散。由于复杂介质几何结构上的限制,在分形介质上的扩散显示出许多不规则性质。这种限制表现为介质的空间相关性,这种相关性在整个度量尺布:
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【志即,¨夷可/矿一。舭巧/’鳷。,忙这里珼是一个常数。赋鰋蛃的这里一墒墙橹实姆中挝介质上的扩散贰:在参考文献珺热酥赋龅眗耾时维数为姆质∽积分浚ū曜嫉膁维径向扩散方程表示成如下的形式:。对于维数那樾危匠痰慕饧捌浣ソ形V辉谖尥力时给出来了。/痳其中是一个常数。和ü—方程的解服从扩展次—方程的解有渐近行为:另一方面,在无外力的情形曜嫉膁维径向扩散方程为:通过使和剿餍缘姆椒ǎ颐堑玫搅艘桓鲇型饬Τ的分数次扩散方程。这个方程如下所示:从中可以看出赿,笔瞧娴恪\/出。~
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