文档介绍：第六章根轨迹分析法
◆本章学****目标
1、了解根轨迹的基本特性和相关概念。
2、了解根轨迹的类型划分,熟练掌握根轨迹的分类原则。
3、掌握根轨迹的绘制法则,并能够熟练地应用到根轨迹的绘制过程中。
4、掌握闭环极点与系统性能的关系。
5、学会分析增加闭环极点与系统性能的影响。
◆本章教学内容
1、根轨迹的基本概念。
2、根轨迹的绘制基本规则。
3、特殊根轨迹的绘制。
4、闭环零极点与系统性能的关系。
◆本章重点
1、根轨迹的两个基本条件:相角条件和幅值条件。
2、绘制根轨迹的基本规则。
3、闭环极点与系统动态性能之间的关系。
◆本章难点
根轨迹的绘制方法。
◆本章学****方法建议及参考资料
1、熟悉各名词、术语的含义,掌握基本概念。
2、掌握典型根轨迹的绘制法则。
§ 根轨迹的基本概念
1、根轨迹分析法的依据
一个控制系统的稳定性完全由它的特征方程所确定,而特征方程的根又与系统参数密切联系。
2、根轨迹法的研究背景
在上一章系统稳定性主要是讨论为了取值范围进行要求。为了更彻底的了解系统,需要知道如果系统中某个参数(例如开环增益系数)发生变化,特征方程的根会发生什么样的变化,从而导致系统稳定性发生怎样改变。要解决这样一个问题,反复计算高阶代数方程的根是完全不现实的。即使采用劳斯—赫尔维兹判据也需要反复计算劳斯阵,其过程也很复杂。尹文斯()于1948年提出了一种求解闭环特征方程根的简便图解方法,即根轨迹法。
3、根轨迹的研究任务
为了保证系统稳定而对系统中某一参数根轨迹法主要研究当系统的某一参数发生变化时,如何根据系统已知的开环传递函数的零极点,来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。
或者说,由已知的开环零极点和根轨迹增益,用图解的方法确定闭环极点。
4、根轨迹定义
开环系统(传递函数)的每一个参数从零变化到无穷大时,闭环系统特征方程根在s平面上的轨迹。
【例】:
图中,,则系统的开环传递函数为:。
其中,K为开环传递函数零极点形式的放大系数,也称为根轨迹增益。
闭环传递函数为:
闭环特征方程为:
可以解出该方程的根为:
,
可见,、是随参数K的变化而变化的。
改变K值时,特征根、。
K
S1
S2
0
0
-2
-
-
1
-1
-1
2
-1+j
-1-j
…
…
…
∞
-1+j∞
-1-j∞
根轨迹方程
一、系统特征方程
,系统开环传递函数为,则系统的闭环传递函数为,系统的闭环特征方程为。
可见,满足开环传递函数等于-1的点即为闭环特征根,也就是根轨迹上的一个点。
二、一般系统的根轨迹方程
已知系统开环传递函数的一般表达式为。
其中,为开环传递函数的零点;为开环传递函数的极点;K为根轨迹增益。
定义根轨迹方程为:
根轨迹方程表达了开环传递函数与闭环特征方程式的关系,该方程的解即为闭环特征根。
幅角定理
将代入根轨迹方程可知下式是一个复数,可表示成幅值和辐角的形式,即可得表示成幅值和辐角的形式,即
①幅值条件:
②辐角条件:
()
满足幅值条件和辐角条件的S值,就是特征方程式的根,也就是闭环极点。
因为K在范围内连续变化,总有一个值能满足幅值条件。所以,绘制根轨迹的依据是辐角条件。利用幅值条件计算K值比较方便,它可以作为计算K值的依据。
根轨迹作图法则
1、根轨迹条数
假设根轨迹方程知系统的特征方程为:
因为,所以特征方程的最高次幂n,即有n个特征根。
当时,每个特征根都由起点向终点连续移动,形成一条根轨迹,n个根就有n条根轨迹。
2、根轨迹的起点与终点
根轨迹起点定义:指时,特征根在S平面上的位置。
此时根轨迹方程为:
当时,上式成立,即。
所以,开环传递函数的极点便是根轨迹的起点。
根轨迹的终点:是指时,特征根在S平面上的位置。
(1)当时,由根轨迹方程知
,
当,即时,等式成立。
即系统开环传递函数的零点便是根轨迹的终点。
(2)因为,所以有m条根轨迹是终止于开环传递函数的零点的,而另外n-m条根轨迹随着它们都趋向于无限远(无限零点)。
3、根轨迹的对称性
控制系统闭环特征方程的系数是由实际物理系统的结构决定的,均为实数,所以闭环特征根若为实数根,则分布在S平面的实轴上;若为复数,则成对出现为共轭复根。因此它们形成的根轨迹必对称于实轴。
【例1】已知系统的开环传递函数为,试确定系统的根轨迹。
①由系统开环传递函数:n=3,m=2,系统有