文档介绍：习题9-1
1、利用二重积分的定义,证明(其中为积分区域的面积).
证明:把D分成n个小区域..其中(这个小闭区域的面积也记作).
2、根据二重积分的性质,比较下列二重积分的大小:
(1),,其中是由轴,轴与直线所围成的三角形闭区域.
(2),,其中
(3),,其中
(4),,其中
(5),,其中为以点,,为顶点的三角形闭区域.
解:(1),:
即
(2)由于(1,0)在圆周上,且过该点的切线方程为.
所以,在D上处处有
故在D上有
从而有即
(3) 在D上有得
故在D上有即
(4)在D上有得
故在D上有即
(5)在D中有1<x+y<2
即在D中有0<<1
则有>
根据二重积分的性质有>,即>
3、根据二重积分的性质,估计下列积分的值
(1),其中,.
(2),其中,.
(3),其中,.
(4),其中,.
解:(1)因为在积分域D上,,所以,
于是可得,而D的面积为
应用估值定理有即
(2)因为在积分域D上有,所以,而D的面积为
应用估值定理有即
(3)由已知有,且D的面积
所以,即
(4)在积分区域D上有,从而有
,且积分区域D的面积
,即
4、设为平面上有界闭区域,函数,
都在上连续,且在上不变号,证明:存在一点,使得
.
证明:不失一般性,不妨设
在有界闭区域D上连续
一定存在最大值M,最小值m,使在D上有,从而有
根据积分中值定理,有
在D中至少存在一点,使
习题9-2
1、化二重积分为二次积分(在直角坐标系下,写出两种积分次序)
(1) 由轴,及围成的区域;
(2) 由轴,及围成的区域;
(3) 由直线及抛物线围成的区域;
解: (1) D: 或
(2) D: 或
(3) D: 或
2、画出下列二重积分的积分区域,并在直角坐标系下计算二重积分.
(1) ,其中是矩形:;
(2) ,其中是由及直线
所围成的区域;
(3) ,其中是由抛物线及直线所围成的闭区域;
(4) ,其中是由直线所围成的闭区域;
(5) ,其中是由不等式所确定的闭区域;
(6) ,其中是由两条抛物线所围成的闭区域;
(7) ,其中是由直线及所围成的闭区域;
(8) ,其中是顶点分别为和的三角形闭区域;
(9) ,其中是由直线和曲线所围成的闭区域.
解(1) D:
D:
(3) 或
D:
D:
D=D1D2
D1: D2:
(6) D:
(7) D:
(8) D:
(9) D:
3、交换下列二次积分的次序
(1)
(2)
(3)
(4)
解(1) D;
(2) D:
(3) D:
(4) D1 D2
D=D1D2:
4、通过交换积分次序计算下列二次积分:
(1)
(2)
(3)
解(1) D:
(2) D:
(3) D:
5、化二重积分为极坐标系下的二次积分,其中积分区域为
(1) 且
(2)
(3)
解(1)
(2)
(3)
6、将下列累次积分化为极坐标系下的累次积分:
(1) ()
(2)
(3)