文档介绍：新双因素方差分析
双因素方差分析方法
双因素试验的方差分析
在实际应用中,一个试验结果(试验指标)往往受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果,而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。
例如:某些合金,当单独加入元素A或元素B时,
性能变化不大,但当同时加入元素A和B时,合金性
能的变化就特别显著。
统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的
影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析
中,把它当成一个新因素来处理。
我们只学****两个因素的方差分析,更多因素的
问题,用正交试验法比较方便。
无交互作用的双因素试验的方差分析
数学模型
假设某个试验中,有两个可控因素在变化,因素A有a个水平,记作A1,A7><2,…,Aa;因素B有b个水平,记作B1,B<2,….Bb;则A与B的不同水平组合AiBj(i=1,<2,…,a;j=1,<2,…,b)共有ab个,每个水平组合称为一个处理,每个处理只作一次试验,得ab个观测值Xij,得双因素无重复实验表
双因素无重复(无交互作用)试验资料表
因素 A
因素 B
无交互作用的双因素试验的方差分析
线性统计模型
基本假设(1) 相互独立;
(<2) ,(方差齐性)。
其中
所有期望值的总平均
水平Ai对试验结果的效应
水平Bj对试验结果的效应
试验误差
特性:
水平Ai对试验结果的效应
水平Bj对试验结果的效应
试验误差
要分析因素A,B的差异对试验结果是否有显著
影响,即为检验如下假设是否成立:
总离差平方和的分解定理
仿单因素方差分析的方法,考察总离差平方和
可分解为:
称为因素A的离差平方和,
反映因素 A 对试验指标的影响。
称为因素B的离差平方和,
反映因素 B 对试验指标的影响。
称为误差平方和,反映试验误差对试验指标的影响。
可推得:
将的自由度分别记作
,则
若假设成立,则:
对给定的检验水平,
F 右侧检验
时,
当
时,
当
拒绝H01,即A 因素的影响有统计意义。
拒绝H0<2,即B 因素的影响有统计意义。
双因素(无交互作用)试验的方差分析表
方差来源
因素A
总和
平方和
自由度
均方和
F 值
F 值临介值
因素B
误差
注意
各因素离差平方和的自由度为水平数减一,总平方和的自由度为试验总次数减一。
双因素(无交互作用)试验的方差分析表
简便计算式:
其中:
例1 设甲、乙、丙、丁四个工人操作机器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各一天,
其产品产量如下表,问工人和机器对产品产量是否有显著
影响?
工人 A
机器 B
甲乙丙丁
ⅠⅡⅢ
解基本计算如原表
结论:工人对产品的产量有显著影响,
机器对产品的产量有极显著影响。
例<2:某厂对生产的高速钢铣刀进行淬火工艺试验,考察回火温度A和淬火温度B两个因素对强度的影响。今对两个因素各3个水平进行试验,得平均硬度见表:
Bj
Ai
试验结果
B1(1<210‘C)B<2(1<235’C)B3(1<250‘C)
A1(<280’C) 64 66 68
A<2(300‘C) 66 68 67
A3(3<20’C) 65 67 68
假设:不同组合水平下服从正态分布、互相独立、方差相等。
所需要解决的问题是:所有Xij的均值是否相等。
方差分析表:
方差来源离差平方和自由度 F值 (<2,4) (<2,4) 显著性
因素A <2 FA=
因素B <2 FB= *
试验误差 4
总误差 16.<2<2 8
A影响不显著。
B影响显著,由于
高速钢洗刀的硬度越大越好,因此因素B可取B3水平,即淬火温度1<250‘C为好,因素A水平的确定,应考虑经济方便,取A1水平为好。
3<23
333
308
<298
B5
B4
B3
B<2
B1
340
330
343
<260
343
363
353
<298
350
368
3<23
<280
365
345
358
<288
A1
A<2
A3
A4
销售地区( 因素B )
品牌
(因素A)
不同品牌的彩电在各地区的销售量数据
【例3】有四个品牌的彩电在五个地区销售,为分析彩电的品牌(因素A)和销售地区(因素B)对销售量是否有影响,对每个品牌在各地区的销售量取得以下数据,见下表。试分析品牌和销售地区对彩电的销售量是否有显著影响?
四、双因素方差分析例题
1、对因素A提出的假设为
H0: m