函数极限的运算法则.ppt

文档介绍：第五讲函数极限的运算法则
内容提要
;
。
教学要求
;
(夹逼准则和单调有界法则)。
一、极限的运算法则
对于
+
®
0
x
x
-
®
0
x
x
,
¥
®
x
,
+¥
®
x
,
-¥
®
x
等情况的运算
法则可类似。
定理 1
设
A
x
f
x
x
=
®
)
(
lim
0
,
B
x
g
x
x
=
®
)
(
lim
0
则有:
lim
0
x
x
®
)
(
lim
0
x
g
x
x
®
±
)
(
lim
0
x
f
x
x
®
=
)]
(
)
(
[
x
g
x
f
±
lim
0
x
x
®
)
(
lim
0
x
f
x
x
®
=
特别地
)
(
x
Cf
)
(
lim
0
x
f
x
x
®
lim
0
x
x
®
C
=
n
û
ù
ë
é
ú
ê
n
x
f
)]
(
[
=
x
x
x
f
®
)
(
lim
0
x
x
®
lim
0
)
(
lim
0
x
g
x
x
®
0
)
(
lim
x
f
x
x
®
)
(
)
(
x
g
x
f
lim
0
x
x
®
=
其中
0
)
(
lim
0
¹
=
®
B
x
g
x
x
证明
只证法则1
其余仿证
指出:
法则1、2都可推广到有限个具有极限的函数的情形
因
A
x
f
x
x
=
®
)
(
lim
0
,
B
x
g
x
x
=
®
)
(
lim
0
,
由无穷小与函数
)
(
)
(
x
B
x
g
b
+
=
0
)
(
lim
0
=
®
x
x
x
b
)]
(
[
x
B
b
+
±
)]
(
[
x
A
a
+
=
)]
(
)
(
[
x
x
b
a
±
+
)
(
B
A
±
=
由无穷小的性质知:
0
)]
(
)
(
[
lim
0
=
±
®
x
x
x
x
b
a
)
(
lim
)
(
lim
0
0
x
g
x
f
x
x
x
x
®
®
±
=
B
A
±
=
)]
(
)
(
[
lim
0
x
g
x
f
x
x
®
±
再由无穷小与函数极限的关系得:
极限之关系知
回顾:
极限的几种类型
:
1
)
简单型
由运算法则直接求出结果
:
解
例
2
=
)
2
(
lim
1
-
®
+
x
x
1
-
®
x
)
7
3
(
lim
2
+
+
x
x
2
7
3
lim
2
1
-
®
+
+
+
x
x
x
x
5
=
1
5
=
2
1
+
-
7
)
1
(
3
)
1
(
2
+
-
+
-
=
〖注〗
:
一般地
,
求有理函数当
0
x
x
®
的极限时
若分母的极限不为零,
0
x
x
=
把代入有理
即为该函数的极限。
函数直接求函数值,
0
0
2
)
型
(
记号
)
4
=
2
+
2
=
)
2
(
lim
2
+
=
®
x
x
例
3
2
4
lim
2
2
-
-
®
x
x
x
【注】
对分
子、分
母极限
均
为
0
情形的有理式
,
先约
去分子分母的公因子
,
再求极限,
不能直接使用法则
3
练****br/>解
¥
¥
3
)
型
(
记号
)
2
3
=
)
1
1
2
lim(
2
+
-
¥
®
x
x
x
)
1
1
3
(
lim
2
+
+
=
¥
®
x
x
x
=
x
x
1
1
2
1
1
3
2
2
+
-
+
+
x
x
lim
¥
®
x