文档介绍：探讨一类具有时滞的病毒模型的hopf分支
摘要:本文主要以时滞为参数,讨论一类具有时滞的病毒模型的hopf分支的存在性。
关键词:病毒模型;时滞;hopf分支
1 引言
生物体内存在着大量的病毒,病毒与抗病毒细胞的相互作用过程成为目前研究的焦点。bocharov ,tatyana luzyanina在文献中利用数值分析的方法对bocharov ,并得到了一个简化的数学模型:
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其中v表示淋巴细胞性脉络丛脑膜炎病毒数量,ep表示抗病毒的细胞毒性t淋巴细胞的预兆因子的数量,ee(t)表示抗病毒的细胞毒性t淋巴细胞的效应器数量。各个参数代表的意义如下:bp表示激活的抗病毒的细胞毒性t淋巴细胞的比率;bd表示分化的抗病毒的细胞毒性t淋巴细胞的比率;β表示病毒的繁殖率;e0p表示淋巴细胞性脉络丛脑膜炎病毒与抗病毒的细胞毒性t淋巴细胞的平衡浓度;αep表示抗病毒的细胞毒性t淋巴细胞的预兆因子的自然死亡率;αee表示抗病毒的细胞毒性t淋巴细胞的的效应器的自然死亡率;γve表示由效应器导致的病毒的消亡率;τ表示抗病毒的细胞毒性t淋巴细胞分裂的平均持续时间。
tatyana luzyanina在文献中对系统的持久性做了详细的研究。众所周知,时滞会导致平衡点的失稳及周期解的产生。在本文,我们将以时滞为参数来研究其hopf分支问题。
2 hopf分支的存在性
在本节,我们主要通过讨论系统(2)线性部分对应的超越特征方程的根的分布情况来分析正平衡点的局部稳定性。为了方便起见,我们记,x(t)=v(t),y(t)=ep(t),z(t)=ee(t),a=
β,b=γve,c=αep,m=bp,n=bd,l=αep,k=e0p,a=β,b=γve,c=αep,m=bp,n=bd,l=αee,k=e0p,则系统(1)可转化为:
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很明显,系统(2)有唯一正平衡点e0=(x0,y0,z0),其中,x0=■,y0=■,z0=■。系统(2)在e0处的线性部分为:
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所以方程(3)所对应的特征方程为:
λ3+m2λ2+m1λ+(n2λ2+n1λ+n0)e-λτ=0 (4)
其中m2=l+c,m1=lc,n2=-mx0,n1=al-mlx0,n0=alc.
当τ=0时,方程(4)转化为:
λ3+(m2+n2)λ2+(m1+n1)λ+n0 (5)
直接计算容易知道:n0>0,m2+n2>0.
假设条件(h1)成立,(m2+n2)(m1+n1)-n0>0成立,则由routh-hurwitz准则,方程(5)的所有根均具有严格负实部。
下面讨论方程(4)具有一对纯虚根的充分条件。假设i
ω(ω>0)是方程(4)的根,则:
-ω3i-m2ω2+m1ωi+(-n2ω2+n1ωi+n0)(cosωτ-isinωτ)=0 (6)
分离实虚部得:
m2ω2=(n0-n2ω2)cosωτ+n1ωsinωτm1ω-ω3=(n0-n2ω2)sinωτ-n1ωcosωτ(7)
两式左右两端分别平方相加得:
ω6+pω4+qω2+r=0 (8)
其中,p=m22-n22-2m1,q=m12-n12+2n0n2,r=-n02,
令z=ω2,则方