文档介绍：探讨近几年高考中的不等式恒成立问题
近几年来,不等式恒成立问题成为了高三复习迎考训练与高考的一个热点与难点,它涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、圆锥曲线的性质、图象,渗透着分类讨论、化归与转化、数形结合、函数与方程等数学思想与方法,能充分的考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,因此备受命题者青睐。仅从近几年高考来看,全国卷(ⅱ)和包括浙江、上海、天津、福建、湖南在内的很多自主命题试卷中都有不等式恒成立问题。但在处理这类问题时,许多同学都总是感到不知如何下手……
一般不等式恒成立问题的处理方法有:转换求函数的最值、主参换位法、分离参数法、数形结合等,应用这些方法处理不等式恒成立问题很方便,下面我就以近几年高考试题为例加以剖析。
一、转换求函数的最值
容易证明如下两个结论:
结论1:
结论2:
如何在区间d上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f(x)的最值。
例1 (2008年高考上海数学理科试卷第19题)已知函数f(x)=2x-
(
ⅰ) 若f(x)=2,求x的值;
(ⅱ)若2t f(2t)+m f(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围。
分析:2t f(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立m≥[-(22t+1)]max问题转化为求[-(22t+1)]的最大值。若求出[-(22t+1)],t∈[1,2]的最大值,则问题迎刃而解。
解:(ⅰ)略(ⅱ)当t∈[1,2]时, ,
故m的取值范围是[-5,+∞)。
例2 (09年全国卷ii文21)设函数 f(x)=1/3·x3-(1+a)x2+4ax+
24a,其中常数a>1,若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围。
分析:利用导数求函数的最值,由恒成立条件得出不等式条件从而求出a的范围。
解:(ii)由(i)知,当x≥0时,f(x)在x=2a或x=0处取得最小值。
;f(0)=24a
则由题意得即
解得 1 解决恒成立问题的实质是合理转化到函数,通过函数性质(最值)进行求解。
二、主参换位法
某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度。即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果。
例3 (08安徽文科20)。已知函数,
其中a为实数。
已知不等式f
’(x)>x2-x-a+1对任意a∈(0,+∞)都成立,求实数x的取值范围。
分析:已知参数a的范围,要求自变量x的范围,转换主参元x和a的位置,构造以a为自变量x作为参数的一次函数g(a),转换成 a∈(0,+∞),g(a)>0恒成立再求解。
解析:由题设知“ax2-3x+(a+1)>x2-x-a+1对 a∈(0,+∞)都成立,即a(x2+2)-x2-2x>0对 a∈(0,+∞)都成立。设g(a)=a(x2+2)-x2-2x(a∈r),则g(a)是一个以a为自变量的一次函数。∵x2+2>0恒成立,则对 x∈r,g(a)为r上的单调递增函数。所以对 a∈(