文档介绍：冯诺依曼稳定性分析
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数值分析中, 冯诺依曼稳定性分析(亦作傅立叶稳定性分析) 用于验证计算线性偏微分方程时使用特定有限差分法的数值稳定性[1],该分析方法基于对数值误差的傅立叶分解。1947年英国研究人员 John Crank 和 Phyllis Nicolson 在文章中对该方法进行了简要介绍[2], 尔后又出现在冯诺依曼合作的文章中[3] 。洛斯阿拉莫斯国家实验室对该方法进行了进一步发展。
[编辑] 数值稳定性
数值稳定性与数值误差密切相关。使用有限差分方法进行计算时,若任意时间步的误差不会导致其后计算结果的发散,则可称该有限差分法是数值稳定的。如果误差随着进一步计算降低最终消失,该算法被认为稳定;若误差在进计算中保持为常量,则认为该算法“中性稳定”。但如果误差随着进一步计算增长,结果发散,则数值方法不稳定。数值方法的稳定性可以通过冯诺依曼稳定性分析得到验证。稳定性一般不易分析,特别是针对非线性偏微分方程。
冯诺依曼稳定性方法只适用于满足 Lax–Richtmyer 条件(Lax 等价定理) 的某些特殊差分法: 偏微分方程系统须线性,常系数,满足周期性边界条件,只有两个独立变量,差分法中最多含两层时间步[4]。由于相对简单,人们常使用冯诺依曼稳定性分析代替其他更为详细的稳定性分析,用以估计差分方法中对容许步长的限制。
[编辑] 方法描述
冯诺依曼误差分析将误差分解为傅立叶级数。为了描述此过程,考虑一维热传导方程
空间网格间隔为 L, 对网格作 FTCS (Forward-Time Central-Space,时间步前向欧拉法,空间步三点中心差分) 离散处理,
其中。为离散网格上的数值解,用于近似此偏微分方程的精确解 u(x,t) 。
定义舍入误差。其中是离散方程(1) 式的精确解, 为包含有限浮点精度的数值解。因为精确解满足离散方程, 误差亦满足离散方程[5]:
此式将确定误差的递推关系。方程(1) 和(2) 中,误差和数值解随时间具有一致的变化趋势。对于含周期性边界条件的线性微分方程,间