文档介绍：概率论与数理统计
第十二讲
北京工业大学应用数理学院
前面介绍了随机变量的数学期望。数学体现了随机变量取值的平均水平,是随机变量的重要的数字特征。
但在一些场合,仅仅知道平均值是不够的,还需了解其他数字特征。
§ 方差
例如,某零件的真实长度为a,现用甲、乙两台仪器各测量10次,将测量结果X用坐标上的点表示如图:
乙仪器测量结果
甲仪器测量结果
较好
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近。
又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹,其落点距目标的位置如图:
甲炮射击结果
乙炮射击结果
乙较好
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近。
中心
中心
为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值偏离其中心(均值)的程度。
这个数字特征就是我们要介绍的方差。
方差的定义
注: 有的书上也将Var(X)记成 D(X)。
定义1: 设 X 是一随机变量,若E[X-E(X)]2 存在, 则称其为X 的方差,记成 Var(X),即
Var(X)= E[X-E(X)]2 ; (1)
并称为X的标准差。
采用平方是为了保证一切
差值[X-E(X)]都起正的作用
若X 的取值比较分散,则方差较大。
若方差Var(X)=0,则 X 以概率1取常数。
方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的偏离程度。
若X 的取值比较集中,则方差较小;
均值E(X)
X为离散型,
P{X=xk}=pk
由定义知,方差是随机变量X的函数
g(X)=[X-E(X)]2的数学期望。
X为连续型,
f (x)为密度。
计算方差的一个简化公式
Var(X)=E(X2)-[E(X)]2 .
展开
证:Var(X)=E[X-E(X)]2
=E{X2-2X E(X)+[E(X)]2}
=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2
=E(X2)-[E(X)]2.
利用期
望性质
例1:设 X 服从几何分布,概率分布为
P(X=k) = p(1- p)k-1, k=1, 2, …,
其中 0<p<1, 求 Var(X)。
解:
记 q=1-p,则
交换求和与
求导次序
无穷递缩等比
级数求和公式