概率论与数理统计第12讲.ppt

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随机变量函数的分布
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随机变量的函数的分布
我们常常遇到一些随机变量, 它们的分布往往难于直接得到(如滚珠体积的测量值等), 但是与它们有关系的另一些随机变量,其分布却是容易知道的(如滚珠直径的测量值). 因此, 要研究随机变量之间的关系, 从而通过它们之间的关系, 由已知的随机变量的分布求出与之有关的另一个随机变量的分布.
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定义
设f(x)是定义在随机变量x的一切可能值x的集合上的函数. 如果对于x的每一可能取值x, 有另一个随机变量h的相应取值y=f(x). 则称h为x的函数, 记作h=f(x).
我们的任务是, 如何根据x的分布求出h的分布, 或由(x1,x2,…,xn)的分布求出h=f(x1,x2,…,xn)的分布.
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(一) 离散型随机变量函数的分布
如果相应的函数f(x)在给定的试验范围内是单调函数或者存在反函数, 则h=f(x)的分布是很容易从x的分布中求出来的, 即当P(x=xi)=pi时, P(h=f(xi))=pi, i=1,2,…
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例1 测量一个正方形的边长, 其结果是一个随机变量x(为简便起见把它看成是离散型的), x的分布如下表所示, 求周长h和面积z的分布律.
x
9
10
11
12
P




6
解: 根据题意知h和z都是x的函数, h=4x, z=x2,因此而计算出如下的结果
x
9
10
11
12
P




z
81
100
121
144
P




h
36
40
44
48
P




7
例2 x的分布如下表所示, 求x2的分布
x
-1
0
1

3
P





解此题与上题的不同在于x存在着取负数的可能, 而-1的平方与1的相同, 因此, {x2=1}的事件是{x=1}和{x=-1}两个互斥事件的和, 则
P{x2=1}=P{x=1}+P{x=-1}, 最后结果如下表:
x2
0
1

9
P




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例3 一个仪器的长度由两个主要部件构成, 其总长度为此二部件之和, 这两个部件的长度x和h为两个相互独立的随机变量, 其分布律如下二表所示. 求此仪器长度的分布律.
x
9
10
11
P



h
6
7
P


9
解设仪器的总长度为z, x,h的可能取值的数对及概率与相应的和如下面的表所示
x
9
10
11
P



h
6
7
P


x
9
9
10
10
11
11
h
6
7
6
7
6
7
z=x+h
15
16
16
17
17
18
P






10