文档介绍：概率论与数理统计
第二讲
主讲教师:李学京
北京工业大学应用数理学院
§ 事件的概率
事件的频率
I. 频率定义
设A是一个事件, 在相同条件下进行n次试验,A发生了m 次。
则称 m为事件A在 n 次试验中发生的频数或频次,称 m与 n之比 m/n 为事件A在 n次试验中发生的频率,记为 fn(A)。
当试验次数 n充分大时,事件的频率总在一个定值附近摆动,而且,试验次数越多,一般说来摆动的幅度越小。这一性质称频率的稳定性。
频率在一定程度上反映了事件在一次试验中发生的可能性大小。尽管每进行一连 n次试验,所得到的频率可能各不相同,但只要 n足当大,频率就会非常接近一个固定值——概率。
因此, 概率可以通过频率来“度量”, 频率是概率的近似, 概率是频率某种意义下的极限。
考虑在相同条件下进行的 k 组试验
事件A在各组试验中的频率形成一个数列
频率稳定性是指:各组试验次数 n1,n2…, nk 充分大时,在各组试验中事件 A 出现的频率间、或频率与某定值相差很小。
稳定在概率 p 附近
下面我们来说明频率稳定性的含义。
在实际问题中,当概率不易求出时,人们在试验次数很大情况下,常用事件的频率作为概率的估计,并称此概率为统计概率。这种确定概率的方法为频率法。
例如: 若需了解某射箭运动员中10环的概率,应对该运动员在相同条件下的多次射箭情况进行观测、统计。
假设其射击 n 次,中10环m次,当 n很大时,就 m/n 作为其命中10环的概率。
又如:进行产品检验时,如果检验了n 件产品,其中m 件为次品,则当 n 很大时,可用 m/n 作为产品的次品率(概率)的估计值。
(1) 0≤ fn(A)≤1;
(2) fn(Ω)=1, fn(Ø)=0;
(3).若事件 A1,A2,…,Ak 两两互斥,则:
II. 频率性质
1933年,前苏联数学家(概率统计学家)柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov) 给出了概率如下公理化定义。
事件概率
I. 概率定义
概率的公理化定义
(2). P(Ω)=1 ;
(3). 若事件A1, A2 ,…两两互斥,则有
设E是随机试验,Ω是样本空间,对Ω中的每个事件A,赋予一个实数P(A) ,如果事件(集合)函数 P(A) 满足下述三条:
(1). P(A)≥0;
则称P(A)为事件A 的概率。