文档介绍：几类与矩阵的秩有关的问题研究
Study on several issue in relation to rank of matrix
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指导老师:
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学院
二○一一年
摘要
本文主要研究了有关矩阵的秩的几个问题, 包括向量组线性相关性、线性方程组、矩阵的秩有关运算、二次型等问题, 同时利用其相关性质和结论解决了硕士研究生考试中的一些问题.
关键词: 矩阵的秩; 向量组线性相关性; 线性方程组; 二次型.
Abstract
This paper mainly study some problem connected with rank of matrix such as linear relativity of vector set、linear equation set、arithmetic of rank of matrix and quadratic form. in the meantime, a number of question derived from Postgraduate Examination are answered.
Keywords: rank of matrix; linear relativity of vector set; linear equation set; quadratic form.
目录
摘要 I
ABSTRACT II
0 引言 1
1 向量组线性相关性 1
2 线性方程组 3
3 矩阵的秩有关运算 6
加法 6
减法 6
乘法 7
4 二次型 8
5 结束语 15
参考文献 16
0 引言
高等代数课程是本专业基础课, 线性代数占有很大比重, 矩阵作为线性代数的重要工具, 把线性代数各章节贯串成为一个整体. 而矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始终, 其有关理论是高等代数课程中极重要的内容, 在判断矩阵是否可逆、判断向量组的线性相关性、判断线性方程组是否有解以及有多少解、求矩阵的特征值等方面都有着广泛的应用. 本文就几类与矩阵的秩有关的问题进行研究, 加深对矩阵本身及其相关知识的理解, 更好的掌握这门基础课程.
定义矩阵的行向量组或列向量组的秩称为矩阵的秩, 记为. 求矩阵的秩主要如下有三种方法:
(1) 找出矩阵中非零子式的最高阶数, 该阶数即为矩阵的秩;
(2) 标准形法, 求出矩阵的标准形, 主对角线上1的个数即为矩阵的秩;
(3) 初等变换法, 对矩阵实施初等行变换, 将其变成行阶梯形矩阵后其中非零行的行数即为矩阵的秩.
在这三种方法中, 第三种方法相对另外两种方法更为简便.
1 向量组线性相关性
设.
向量组线性相关存在不全为零的数, 使
=0. ()
向量组的秩即其极大线性无关组所含向量的个数, 若向量组所含向量个数与其秩相等, 则该向量组线性无关; 若所含向量个数大于秩, 则该向量组线性相关, 用求向量组秩的方法来判断向量组是否线性相关是常用的一种方法. 因矩阵的秩等于矩阵的列(行)秩, 列(行)秩即为列(行)向量组的秩, 向量组的相关性问题可转换为求矩阵的秩问题.
设矩阵=(), 则向量组线性相关齐次线性方程组有非零解. (令=, 则由()可得出); 同理可得出向量组
线性无关齐次线性方程组只有零解.
若向量组线性无关, 那么在每个向量上添加分量所得到的维的向量组
,
也线性无关. 因即
()
只有零解, 故
也只有零解, 因此向量组线性无关.
定理: 设与两个向量组, 若向量组可由线性表示, 且, 则向量组必线性相关.
推论一: 任意个维向量组()线性相关. 因每个维向量都可以被维单位向量组线性表示, 又, 由定理可知其线性相关.
推论二: 向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示, 那么(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩. 因向量组(Ⅰ)的极大线性无关组也可由向量组(Ⅱ)的极大线性无关组线性表示, 由定理可推出, 即向量组(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩.
推论三: 等价的向量组有相同的秩. 由推论二可轻易推出.
例1. 已知向量=, , 不能由向量组, , 线性表示, 求并将由线性表出.
解: 由推论一知向量组线性相关, 故存在不全为零的常数()使
, 则(否则可由线性表示, 与已知矛盾). 故线性相关, 因此===0, 所以.
因为()=,
故, 显然, .
例2. 设向量组与向量组等价, 且线性无关.
(1)说明不一定线性无关;
(2)找出线性无关的充要条件, 并证明之.
解: (1)由题意知向量组与等价, 但显然线性相关.
(2) 线性无关