文档介绍：第二章解析函数
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第一节解析函数的概念
复变函数的导数与微分
解析函数的概念
函数解析的充要条件
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一、
复变函数的导数与微分
1
导数的定义:
设函数
定义于区域
若
存在
则称
在
可导,
其极限值称为
在
的导数。
记作:
语言定义:
使当
时,
有
成立
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注意
(1)从形式上看,复变函数与实变函数在一点的
导数定义是一致的。
(2)不同:
即
的方式是任意的,
而实变函数只有左、右两个方向。
本质区别在
于求极限的不同。
(3)若
在区域
内处处可导,则称
在
内可导。
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例1
求
的导数
解:
用定义
例2
问
是否可导?
解:
若
沿着平行于
轴的方向趋于
上式=1
若
沿着平行于
轴的方向趋于
则
则
上式=2
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由于沿不同方向趋于
的值不同,故极限不存在,
注:
判别极限不存在的一般方法:设
沿
方向,
为任意数,则
这样极限
表达式中应当有
,若极限值与
有关,则极限必
不存在。若与
无关,也不能断然肯定极限存在。
原因是沿
方向不能代表是沿任意方向。
所以不可导。
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2
可导与连续的关系
结论:
可导
连续
反之未必
证明:
设
在
可导
即
则
当
有
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令
则
是关于
的无穷小,
即
所以
在
连续。
由
的任意性知:
可导必连续。
反之则未必成立
如
在复平面内处处连续,
但处处不可导。
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3
求导法则
其中c为复常数。
是两个互为反函数的单值函数,且
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4
微分的概念
设函数
在
可导,
则
其中
故
是
的高阶无穷小。
而
是
的线性部分。
称
是
在
的微分。
记作
若函数在
的微分存在,
可微。
则称
在
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