文档介绍：引入:
一、切线问题:
(1)对于简单的曲线,如圆和圆锥曲线,它们的切线是如何定义的?
(2)与曲线只有一个交点的直线是否一定是曲线的切线?
(3)曲线的切线与直线是否只有一个交点?
二、最值问题:
求函数y=x3-2x-1,x∈[-1,1]的最大值和最小值。
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第三章导数
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β
y=f(x)
P
Q
M
Δx
Δy
O
x
y
β
P
y=f(x)
Q
M
Δx
Δy
O
x
y
如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,
PM//x轴,QM//y轴,
β为PQ的倾斜角.
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P
Q
o
x
y
y=f(x)
割线
切线
T
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.
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我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P,即Δx→0时,.
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
即:
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
注:(1)切线是割线的极限位置,切线的斜率是一个极限
(2)若割线在P点有极限位置,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;
(3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.
(3)曲线的切线与曲线是否只有一个交点吗?
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例1: 求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线的斜率、切线方程.
Q
P
y
=
x
2
+1
x
y
-
1
1
1
O
j
M
D
y
D
x
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求曲线上一点的切线的斜率一般可以分为三步:
(1)求⊿y;
求曲线在某点处的切线方程:先利用切线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.
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练习:如图,已知曲线, 求:
(1)点P处的切线的斜率;
(2)点P处的切线方程.
y
x
-2
-1
1
2
-2
-1
1
2
3
4
O
P
即点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
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一般地,设物体的运动规律是s=s(t),则物
体在t到t+Δt这段时间内的平均速度为
二、瞬时速度:
平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.
物体在时刻t的瞬时速度,就是物体在t到t+Δt这段时间内,当Δt→0时的平均速度的极限;
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