文档介绍：学科分类号(二级)
本科学生毕业论文(设计)
题目矩阵的对角化及其应用
姓名
学号 084080217
院、系数学学院
专业数学与应用数学
指导教师
职称(学历) 讲师(博士)
矩阵的对角化及其应用
摘要: 本文较为系统的总结了矩阵可对角化的若干条件和矩阵对角化的方法,同时考虑了矩阵对角化的一些应用,并以例题加以说明.
关键词:矩阵对角化;应用
引言及相关概念
矩阵的对角化指的是矩阵与对角矩阵相似,而形式最简单的对角矩阵在矩阵理论中占有重要地位,,[1] <<高等代数>>中重点介绍了矩阵对角化的特征值特征向量法和矩阵可对角化的几个条件,如;[2]<<线性代数理论与解题方法>>[3] <<线性代数典型题分析解集>>(第二版)[4-10]也都涉及到了矩阵对角化及其应用的相关知识.
在归纳总结前人的基础之上,本文首先利用图示法给出了矩阵对角化的若干条件,然后介绍了矩阵对角化的三种方法:利用特征值和特征向量将矩阵对角化、利用用矩阵的初等变换将矩阵对角化、,从而比较出三种方法的优缺点,最后总结了矩阵对角化在由特征值和特征向量反求矩阵、求方阵的高次幂、求行列式的值、求一些具有线性递推关系组的数列的通项和极限和二次曲面上的一些应用.
下面列举本文需要的基本概念.
如下形式的n×n矩阵A= 称为对角矩阵,简记为A=diag .
设A、B为数域P上的两个n级矩阵,如果存在数域P上的n级可逆矩阵T,使得B=AT,则称A相似于B,记为A~B.
如果在数域P上,对n级矩阵A存在一个可逆矩阵T,使得AT为对角矩阵,则称矩阵A在数域P上可对角化;当A可对角化时,我们说将A对角化,即指求可逆矩阵T使得
AT为对角矩阵.
矩阵可对角化的条件
对于矩阵A=,我们可以找到一个可逆矩阵T=,使得AT=,,矩阵A== 而言,若存在可逆矩阵T= ,使得BT为对角矩阵,即=,得到=.则有,=不存在可逆矩阵T,=,矩阵的对角化是有条件的.
现给出矩阵可对角化的若干条件如下图所示:
矩阵A可对角化
设A= ,则
矩阵A有n个互异的特征值
矩阵A有n个线性无关的特征向量
矩阵A为实对称矩阵
矩阵A的所有重特征值对应个线性无关的特征向量
矩阵A正交相似于实对角矩阵
矩阵对角化的三种方法
,这里用图示加以总结.
解特征方程得特征值
矩阵A是否有重特征值
否
否
是
矩阵A不可对角化
矩阵A的所有重特征值是否对应个线性无关的的特征向量
是
矩阵A可对角化
求每个特征值对应的特征向量
取矩阵则有 AT=diag
矩阵对角化的第二种方法是利用矩阵的初等变换,其理论基础是下述定理.
[4] 如果{,E}经过初等变换化为{D(),P()},其中表示特征矩阵的转置,D()为对角矩阵,则
(1)矩阵A的特征值为D()对角线上元素的乘积所得到的关于多项式的根.
(2)对于A的每个特征值,其特征向量是P()中与D()的零行对应的行向量.
(3)矩阵A可对角化的充要条件是D()中零行的数目等于的重数.
矩阵对角化还可以根据以下定理进行.
[4] 设是矩阵A在数域P上的全部互异的特征值,
(1)若,则A可以对角化,反之,不可以对角化.
(2)设是r重根,则A的属于(=1,2, )的特征向量是矩阵列向量中的前r列.
例1 判断矩阵A=可否对角化,若可以,求可逆矩阵T,使得AT为对角矩阵.
解法一:==,所以特征值是2(二重)和-4.
解齐次线性方程组,.
解齐次线性方程组,得一基础解系为
取T=,则AT=.
说明:这种方法相对来说比较简单和基础,也是常用方法.
解法二:{,E}=
.故A的特征值是2(二重)和-4.