文档介绍：
观察这两个关系式发现:
①
②
在①中 t 是自变量,s 是自变量 t 的函数.
在②中 s 是自变量,t 是自变量 s 的函数.
除此之外,我们还可发现②的表达式可由①的表达式变换而得,即从①式中求出t即可.
概念
反函数
一般地,函数 y = ƒ(x) (x∈A) 中,设它的值域为 x , y 的关系,用 y 把 x 表示出来,得到 x = φ(y).如果对于 y 在 C 中的任何一个值,通过 x = φ(y) ,在 A 中都有唯一的值和它对应,那么,x = φ(y) 就表示 y 是自变量,x 是自变量 y x = φ(y) (y∈C) 叫做函数 y = ƒ(x) (x∈A) 的反函数,记作
X = ƒ -1(y) (y∈C) .
在函数 x = ƒ -1(y) 中, y 是自变量, x ,我们一般用 x 表示自变量,用 y 表示函数,为此我们对调函数 x= ƒ -1(y) 中的字母 x , y ,把它改写成 y= ƒ -1(x) (x∈C) (在书中,今后凡不特别说明,函数的反函数都采用这种经过改写的形式) .
ƒ -1(x) 是表示反函数的符号, ƒ –1表示对应关系,ƒ -1(x) 为一个整体符号.
(课本第61页)
概念
反函数
返回概念
⑴从反函数的概念可知,
⑴从反函数的概念可知,如果函数y = ƒ(x)有反函数y= ƒ -1(x) ,那么函数y= ƒ -1(x) 的反函数就是y = ƒ(x),这就是说,函数y = ƒ(x) 与y= ƒ -1(x)互为反函数.
概念表明
比如,函数与函数互为反函数.
A
C
y
ƒ
x
ƒ -1
概念表明
⑵从映射的概念可知,函数y = ƒ(x)是定义域集合A到值域集合C的映射,而它的反函数y= ƒ -1(x) 是集合C到集合A的映射.
x
表明:函数y = ƒ(x)的定义域和值域与反函数y= ƒ -1(x)的定义域和值域的关系如何?
注意:
2. 函数y = ƒ(x)的定义域,正好是它的反函数y= ƒ -1(x) 的值域;函数y = ƒ(x)的值域,正好是它的反函数y= ƒ -1(x) 的定义域(如下表).
函数 y = ƒ(x)
反函数 y = ƒ -1(x)
定义域
A
C
值域
C
A
,判断一个函数存在反函数的条件是:对定义域内任意
这样的函数就存在反函数
知识应用与解题研究
[例1] 求下列函数的反函数:
(1) (x∈R)
(2) (x∈R)
(3) (x≥0)
(4) (x∈R,x≠1)
想一下如何解?
请看解答
知识应用与解题研究
[例1] 求下列函数的反函数:
(1) (x∈R) ;
解:
由
(x∈R),
故,
所求的反函数为
(x∈R).
.
(4)的解
现在,请同学们看书上对(1)、(2)、(3)、(4)的解答.
首先,将y=f(x)看作方程,解出x=f -1(y) (y∈C);
其次,将x,y互换,得到y=f -1(x) (x∈C) .
最后,指出反函数的定义域
得
知识应用与解题研究
[例1] 求下列函数的反函数:
(4)
(x∈R,x≠1)
解:
由
(x∈R,x≠1)
得
故,
原函数的反函数为:
.
首先,将y = ƒ(x)看作方程,解出x= ƒ -1(y) (y∈C);
其次,将x,y互换,得到y= ƒ -1(x) (x∈C) .
最后,指出反函数的定义域
即,
又由