文档介绍：大数定律及其应用
学生姓名:徐转学号:20110401266
数学与计算机科学系数学与应用数学专业
指导教师:任园园职称:讲师
摘要: 本文介绍了几个常见的大数定律及其在生活中应用,具体包括在数学分析中定积分以及在保险业中等方面的应用,进一步说明了大数定律在各分支学科中的重要作用和应用价值.
关键词:大数定律;保险;应用
Abstract : we introduce mon law of large numbers and often used in our daily life, including the integration and application of medium in the insurance industry in terms of mathematical analysis, we obvious the important function and application value on the law of large numbers in various branches.
Key Words:the law of large numbers;insurance;application
前言
,切比雪夫大数定律,辛钦大数定律等.
一方面,大数定律是一种解决方案,一个新的双积分的收敛条件的思想,另一方面,大数定律在国内外的市场上都得到了很好的应用,,通过这些问题的研究,不仅仅可以让人们更加的了解大数定律,而且很多数学问题以及生活问题都可以得到解决.

1733年,德莫佛--拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步,,李雅普诺夫也进一步促进他们的结论,并对特征函数法进行创造,把它命名为“中心极限定理”.20世纪初,主要探讨是中心极限定理
成立的最广泛的条件,二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情况下的显著进展.
几个常见的大数定律
(伯努利大数定律) 如果为重伯努利试验中的事件发生的次数,为每次试验中出现的频率,那么对任意的,有
(切比雪夫大数定律) 如果为一列两两不相关的随机变量序列,若每个的方差存在,且有共同的上界,即则服从大数定律,那么对任意的,下式成立.
(马尔科夫大数定律)有随机变量序列,如果成立,那么服从大数定律,所以对任意的,则
成立.
(辛钦大数定律) 如果为一独立同分布的随机变量序列,假设的数学期望存在,那么服从大数定律,所以对任意的,有
(泊松大数定律)如果为次独立分布试验中的,事件出现的次数,而事件在第次试验时出现的概率为,,所以对任意的,有

例1 设为区间上的连续函数,则存在多项式序列于上一致收敛于.
证明先从区间上证明,也可以变量变换:,可将化为,令
.
设~则
有
所以
因为在上连续,所以在上有界,设,且在上一致连续,那么对任意的,存在,使得当时,就有
.
由伯努里大数定律,得,所以对,存在,使得当时就有.
从而当时,所以有

.
证毕.

例2 有,求在区间上的积分值.
解二维随机变量服从正方形上的均匀分布,则可知服从上的均匀分布,也服从上的均匀分布,
则的概率为
===
,用随机点落在区域中的频率作为定积分的近似值.
下面用蒙特卡罗方法得到出现的频率:
(1)先用计算机产生上均匀分布的个随机数,组成对随机数,这里的可以很大,譬如=,甚至.
图1:关于随机投点法的图
(2)对数据(,),记录满足如下不等式的次数,
这就是事件发生的频率,则
譬如计算,其精确值和在时的模拟值如下:
表1:关于模拟值的表
注意,对于一般区间上的定积分
=
作线性变换,即可化成,区间上的积分,进一步若
,

.

例3有一家保险公司有个同阶层的人参加人寿保险,每人每年付元保险费,在一年内一个人死亡的概率为,死亡时,:家庭