文档介绍：经济数学学院欢迎您
34
36
7
9/26/2018
1
实变函数论的产生
及其意义
朱文莉
******@swufe.
西南财经大学
经济数学学院
9/26/2018
2
实变函数论是数学专业的一门重要的基
础课程, 通过学习使学生掌握近代抽象分析的基
本思想, 加深对数学分析知识的理解, 深化对中学
数学有关内容的认识, 同时为今后学习泛函分析、
函数论、概率论、微分方程、拓扑学、金融随机
分析等课程提供必要的测度论和积分论的基础,
并为进一步学习现代数学基础打下必要的基础.
9/26/2018
3
世界数学发展史,一般划分为四个时期:
数学的产生(公元前3000年─公元前5世纪);
常量数学即初等数学(公元5世纪─公元17世纪);
变量数学即近代数学(公元17世纪─19世纪末);
现代数学(19世纪─至今);
9/26/2018
4
变量数学发展的第二个决定性步骤, 是英国的牛顿和德
国的莱布尼兹完成了微积分的创建. 微积分是17世纪发现
的最伟大的数学工具. 有了它, 数学研究的许多崭新的、
广泛的领域才得以迅速开辟和发展.
恩格斯高度评价这一人类智力奋斗的结晶:“在一切理论成就
中, 未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类
精神的最高胜利”.
微积分在数学发展中的地位是十分重要的, 它是继欧几里得几
何学之后, 全部数学中的一个最伟大的创造. 但是微积分的发展经
历了漫长而曲折的道路, 才成为数学中的一大部门——数学分析,
成为现代科学技术发展的强有力的计算工具.
9/26/2018
5
一、牛顿、莱布尼兹的微积分
17世纪是科学技术发展的一个重要时期, 在这一时期有许多科学
问题需要解决, 这些问题也就成了促使微积分产生的重要因素. 归
结起来, 大体有四类问题:第一类问题是研究物体运动时直接表现
出来的, 也就是求瞬时速度的问题; 第二类问题是求曲线的切线问
题; 第三类问题是求函数的最大最小值问题; 第四类问题是求曲线
的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心以及一
个体积相当大的物体作用于另一个物体产生的引力等问题. 17世纪
许多著名的数学家、天文学家对上述问题作了大量的研究工作, 如
费马、笛卡尔、开普勒等都提出过许多有价值的理论, 为微积分理
论的创立做出了十分重要的贡献.
9/26/2018
6
牛顿研究微积分着重于以运动来考察. 1669年在一篇
名为《运用无穷多项分析学》的论文中, 牛顿不仅给出
了求一个变量对另一个变量瞬时变化率的普遍方法, 而
且还证明了面积可由求变化率的逆过程得到, 因为面积也正是用
无穷小面积的和来表示的. 莱布尼兹是德国博学的哲学家和著名
的数学家, 他在研究求曲线切线和求曲边梯形的面积中, 独立地
建立了一套微积分理论. 他注意到求曲线的切线需要确定曲线的
纵坐标之差和横坐标之差的比, 而求曲边梯形的面积, 则需要确
定曲线的纵坐标之和, 于是他把微分问题与积分问题联系起来,
把两者看作互逆运算, 从而创立了一套关于无限小量的“求差法”
和“求和法”, 即微分学和积分学. 牛顿和莱布尼兹在创建微积分
上的基本功绩是把前人在实际中应用的某一方法加以概括和提升
使之变成适合一般的运算方法, 并且指出微分和积分的互逆过程.
ppt
曲边梯形面积问题在p9, 稍后讲
9/26/2018
7
微积分继续发展的三个方向
外微分形式(整体微分几何)(微积分基本定理如何
在高维空间得到体现)
复数域上的微积分(复变函数)
微积分的深化和拓展(实变函数)
下面我们就给大家介绍一下黎曼积分.
9/26/2018
8
黎曼积分问题举例
1. 曲边梯形的面积
矩形面积
梯形面积
设曲边梯形是由连续曲线
以及两直线
所围成,
求其面积 A .
9/26/2018
9
解决步骤:
1) 大化小.
在区间[a , b]中任意插入 n –1 个分点
用直线
将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 常代变.
在第i 个窄曲边梯形上任取
作以
为底,
为高的小矩形,
并以此小
矩形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积
得
9/26/2018
10