文档介绍：《高中数学解题思维与思想》
一、高中数学解题思维策略
第一讲数学思维的变通性
一、概念
数学问题千变万化,要想既快又准的解题,总用一套固定的方案是行不通的,
必须具有思维的变通性——善于根据题设的相关知识,提出灵活的设想和解题方案。
根据数学思维变通性的主要体现,本讲将着重进行以下几个方面的训练:
(1)善于观察
心理学告诉我们:感觉和知觉是认识事物的最初级形式,而观察则是知觉的高
级状态,是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径,
它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。
任何一道数学题,都包含一定的数学条件和关系。要想解决它,就必须依据题目
的具体特征,对题目进行深入的、细致的、透彻的观察,然后认真思考,透过表面现
象看其本质,这样才能确定解题思路,找到解题方法。
1 1 1 1
例如,求和+ + ++ .
1⋅ 2 2 ⋅3 3⋅ 4 n(n +1)
这些分数相加,通分很困难,但每项都是两相邻自然数的积的倒数,且
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= −,因此,原式等于1−+ −++ −= 1−问题很快就
n(n +1) n n +1 2 2 3 n n +1 n +1
解决了。
(2)善于联想
联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系,都是不明显的、
间接的、复杂的。因此,解题的方法怎样、速度如何,取决于能否由观察到的特征,
灵活运用有关知识,做出相应的联想,将问题打开缺口,不断深入。
x + y = 2
例如,解方程组.
xy = −3
这个方程指明两个数的和为 2 ,这两个数的积为− 3。由此联想到韦达定理, x 、
y 是一元二次方程 t 2 − 2t − 3 = 0 的两个根,
1
x = −1 x = 3
所以或.可见,联想可使问题变得简单。
y = 3 y = −1
(3)善于将问题进行转化
数学家 G . 波利亚在《怎样解题》中说过:数学解题是命题的连续变换。可见,
解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方
法。那么怎样转化呢?概括地讲,就是把复杂问题转化成简单问题,把抽象问题转化
成具体问题,把未知问题转化成已知问题。在解题时,观察具体特征,联想有关问题
之后,就要寻求转化关系。
1 1 1 1
例如,已知+ + = , (abc ≠ 0,a + b + c ≠ 0) ,
a b c a + b + c
求证 a 、b 、 c 三数中必有两个互为相反数。
恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论,可以转化为:
(a + b)(b + c)(c + a) = 0
思维变通性的对立面是思维的保守性,即思维定势。思维定势是指一个人用同一
种思维方法解决若干问题以后,往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就
是记类型、记方法、套公式,使思维受到限制,它是提高思维变通性的极大的障碍,
必须加以克服。
综上所述,善于观察、善于联想、善于进行问题转化,是数学思维变通性的具体
体现。要想提高思维变通性,必须作相应的思维训练。
二、思维训练实例
(1) 观察能力的训练
虽然观察看起来是一种表面现象,但它是认识事物内部规律的基础。所以,必须
重视观察能力的训练,使学生不但能用常规方法解题,而且能根据题目的具体特征,
采用特殊方法来解题。
例 1 已知 a,b,c,d 都是实数,求证 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥(a − c) 2 + (b − d) 2 .
思路分析从题目的外表形式观察到,要证的
结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似,而
左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点,
可采用下面巧妙而简捷的证法,这正是思维变通的体现。 y
证明不妨设 A(a,b), B(c,d) 如图 1-2-1 所示,
则 AB = (a − c) 2 + (b − d) 2 .
2 2 2 2 O x
OA = a + b , OB = c + d , 图 1-2
在∆OAB 中,由三角形三边之间的关系知:
2
OA + OB ≥ AB 当且仅当 O 在 AB 上时,等号成立。
因此, a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥(a − c) 2 + (b − d) 2 .
思维障碍很多学生看到这个不等式证明题,马上想到采用分析法、综合法等,
而此题利用这些方法证明很繁。学生没能从外表形式上