文档介绍：高中数学思维方法训练系列课程
第5课巧用对称化繁为简
―――对称思想方法学以致用(2课时)
特级教师佘维平
引入:对称关系广泛存在于数学问题中,对称美是数学美的一个方面。充分利用对称原理,可使我们在解决问题时多一条有效通道,且往往能更简便地使问题得到解决。我们将从对称性应用常见的四个方面入手进行学习:1、利用关系式中字母的对称;2、利用图形的对称;3、利用其他数学情形的对称;4、利用隐含条件揭示或构造对称。
对称,顾名思义,就是两个事物(或同一事物的两个方面)、B是具有对称性的两个事物(或同一事物的两个方面), 那么把A、B交换顺序,其结果不变,这就是对称原理.
在数学问题中,经常出现在某种意义下对称的形或式,如几何中的平行四边形、正柱体、正锥体、圆锥曲线;代数中的一些不等式、方程;函数f(x)与其反函数f-1(x)及它们的图象等等,不一而足,高考中这方面的问题多不胜数。充分利用好对称原理,可使我们在解决这类问题时多一条有效的通道,而且常能起到化繁为简,出奇制胜的效果。本课程旨在就对称性原理在中学数学中应用的几个方面作一些介绍,同学们自可从中体会到数学上的对称之美及对称性应用之妙。
一利用关系式中变元的对称
“如果一个关系式中任何两个字母互换位置后关系式不变,则称它是关于这些字母的对称式,如x2+y2=1,等。当问题中的变元具有这种对称性,变形或运算的每一步都是对称的,则这些变元在结果中的地位也必然是对称的”.这就是对称性原理之一。
x+y+z=6……………………①
例1 方程组 xy+xz+zy=11……………②解的组数为( )
xyz=6…………………………③
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 6
分析与略解:
显然方程组关于x、y、z对称,其结果也应关于x、y、z对称。
若方程只有一组解,则必有x=y=z,此时由①有x=y=2,代入②、③皆不成立,所以(A)错。
若方程有两组解,则与方程组关于x、y、z具有的对称性矛盾,所以(B)也不对。
若方程有三组解,则x=y≠z应成立,此时由①,z=6-2x,代入②得3x2-12x+13=0,但由于△=-12<0,此方程无解,(C)也错。
故应选(D)。
解后反思:当x、y、z为两两不等的实数时,这三个数的每一个排列对应于这样的方程的一组解,这样的排列共6组,故方程组应有6k(k∈N)组解。实际上,1、2、3的6组不同排列就分别是上述方程的6组解。
例2:a、b、c为相异正数,求证:(b-c)2(b+c-a)+(c-a)2(c+a-b)+(a-b)2(a+b-c)>0.
分析与简证:由于不等式关于a、b、c具有对称性,不妨设a>b>c
当a+c-b≥0时,结论显然成立
当a+c-b<0时,设b+c-a=-x,则x>0,a=b+c+x
左边=(b-c)2(-x)+(b-x)2(2c+x)+(2b+x)(c+x)2>0
根据对称原理,在a、b、c的其它大小关系下,原式同样成立。
结论得证。
解后反思:可见在解题的过程中如果注意到对称性并且恰当地利用对称性,则可以减少一些繁琐的计算,使解题方法简洁明快,提高解题效率,达到事半功倍的效果。
例3:已知xI≥0(i=1、2……n)且x1+x2+……+xn=π,求sinx1+