文档介绍：高中圆的知识点总结
椭圆的中心及其对称性;判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据;如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种,那么它也具有另一种对称性;注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。下面是圆的知识点总结。
一、教学内容:
椭圆的方程
高考要求:理解椭圆的标准方程和几何性质.
重点:椭圆的方程与几何性质.
难点:椭圆的方程与几何性质.
二、知识点:
1、椭圆的定义、标准方程、图形和性质
定义第一定义:平面内与两个定点)的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距第二定义:
平面内到动点距离与到定直线距离的比是常数e.(0
标
准
方
程焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形焦点在x轴上
焦点在y轴上
性质焦点在x轴上
范围:
对称性: 轴、轴、原点.
顶点: , .
离心率:e
概念:椭圆焦距与长轴长之比
定义式:
范围:
2、椭圆中a,b,c,e的关系是:(1)定义:r1+r2=2a
(2)余弦定理: + -2r1r2cos(3)面积: = r1r2 sin 2c| y0 |(其中p( )
三、基础训练:
1、椭圆的标准方程为
,焦点坐标是,长轴长为___2____,短轴长为2、椭圆的值是__3或5__;
3、两个焦点的坐标分别为___;
4、已知椭圆上一点p到椭圆一个焦点的距离是7,则点p到另一个焦点5、设f是椭圆的一个焦点,b1b是短轴, ,则椭圆的离心率为6、方程=10,化简的结果是;
满足方程7、若椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为
8、直线y=kx-2与焦点在x轴上的椭圆9、在平面直角坐标系顶点,顶点在椭圆 上,则10、已知点f是椭圆的右焦点,点a(4,1)是椭圆内的一点,点p(x,y)(x0)是椭圆上的一个动点,则的最大值是 8 .
【典型例题】
例1、(1)已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,长轴长是短轴长的3倍,短轴长为4,求椭圆的方程.
(2)中心在原点,焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到右顶点的距离为1,求椭圆的方程.
解:设方程为.
所求方程为(3)已知三点p,(5,2),f1 (-6,0),f2 (6,0).设点p,f1,f2关于直线y=x的对称点分别为,求以为焦点且过点的椭圆方程.
解:(1)由题意可设所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为(4)求经过点m( , 1)的椭圆的标准方程.
解:设方程为
例2、如图所示,我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心(地球的中心) 为一个焦点的椭圆,已知它的近地点a(离地面最近的点)距地面439km,远地点b(离地面最远的点)距地面2384km,并且、a、b在同一直线上,设地球半径约为6371km,求卫星运行的轨道方程(精确到1km).
解:建立如图所示直角坐标系,使点a、b、在轴上,
则=|oa|-|o |=| a|=6371+439=6810
解得=, =
.
卫星运行的轨道方程为
例3、已知定圆
分析:由两圆内切,圆心距等于半径之差的绝对值根据图形,用数学符号表示此结论:
上式可以变形为,又因为,所以圆心m的轨迹是以p,q为焦点的椭圆
解:知圆可化为:圆心q(3,0),
设动圆圆心为,则为半径又圆m和圆q内切,所以,
即 ,故m的轨迹是以p,q为焦点的椭圆,且pq中点为原点,所以,故动圆圆心m的轨迹方程是:
例4、已知椭圆的焦点是|和|(1)求椭圆的方程;
(2)若点p在第三象限,且=120,求.
选题意图:综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识,灵活运用等比定理进行解题.
解:(1)由题设| |=2| |=4
(2)设,则=60-
由正弦定理得:
由等比定理得:
.
说明:曲线上的点与焦点连线构成的三角形称曲线三角形,与曲线三角形有关的问题常常借助正(余)弦定理,,借助焦半径公式余弦定理把p点横坐标先求出来,再去解三角形作答
例5、如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从这个圆上任意一点p向轴作垂线段pp@,求线段pp@的中点m的轨迹(若m分 pp@之比为,求点m的轨迹)
解:(1)当m是线段pp@的中点时,设动点,则的坐标为
因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上,
所以有所以点
(2)当m分 pp@之比为时,设动点,则的坐标为
因为点在圆心为坐标原点半径为2的圆上,所以有,
例6、设向量=(1, 0), =(x+m) +y =(x-m) +