文档介绍：三阶幻方
同学们:
在(三行三列)的正方形方格中,既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数,使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等,这样的图形叫做三阶幻方。如果在(四行四列)的正方形方格中进行填数,就要不重复,不遗漏地在方格内填上16个连续自然数,且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等,这样的图形叫四阶幻方。一般地,在几×几(几行几列)的方格里,既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数,(注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始),每个数占一个格,且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等,我们把这个相等的和叫做幻和,几叫做阶,这样排成的数的图形叫做几阶幻方。
(一)思路指导与解答
例1. 用1~9这九个数编排一个三阶幻方。
分析:我们先用a、b、c、d、e、f、g、h、i分别填入九个空格内以代表应填的数。看图(2):
(1)通过审题,我们知道幻和是多少才好进行填数。同时可以看到图(2)中,e是一个中间数,也是关键数。因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算,结果都等于幻和;其次是三阶幻方中四个角上的数:a、c、g、i它们各自都要参加一行,一列及一条对角线的求和运算。如果e以及四个角上的数被确定之后,其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。
(2)求幻和:
幻和
(3)选择突破口,显然是e,看图2。
因为:
所以:
也就是:
又因为:
所以
也就是说,图1中的中心方格中应填5,请注意,这个数正好是1~9这九个数中正中间的数。
(4)四个角上的数,a、c、g、i的特点。
我们先从a开始:想:a是奇数还是偶数。如果a为奇数,因为,所以也是奇数。因为奇+奇=偶。又因为,所以d与g同是奇数或同是偶数。分两种情况:
<1>当d、g都是奇数时,因为,,其中e,i都是奇数,所以f、h也只能是奇数。这样在图1中应填的数有a、d、e、f、g、h、i这七个奇数,而1~9中九个数只有五个奇数,所以矛盾,说明d、g不可能为奇数。
<2>当d、g为偶数时,因为,,因为i为奇数,所以f、h、c只能是偶数,这样就有c、d、f、g、h五个偶数,而1~9这九个数中只有四个偶数,矛盾。说明d、g都是偶数也不行。
所以a不能是奇数,那么只能是偶数,于是由知i也是偶数。
用同样的方法可以得到c、g也只能是偶数。也就是说图1中四个角上的数都应填偶数。
(5)试验填数排出幻方。
因为是偶数,所以a的范围有2、4、6、8四个数,根据幻和等于15进行试验。
当时,或6,若,则有
,若,则有
,这样可填出两个幻方。
当时,请同学们自己练习填写。
用1~9这九个数编排的三阶幻方有八个:
说明:在上面图形中给出的用1~9这九个数字编排的八个三阶幻方中的任何一个,都可以对它上面的数字进行适当的对调与旋转。从而得到其它七个图形。
例2. 请编出一个三阶幻方,使其幻和为24。
分析:根据题意,要使三阶幻方的幻和为24,所以中心数必为,那么与8在一条直线上的各个组的其余两个数的和为16。
因为:
按上述条件填出并调整可得到一个三阶幻方,其幻和为24。
例3. 在下面图中的A、B、C、D处填