文档介绍：百鹿问题
《孙子算经》中有这样一道题:“今有百鹿进城,每家取一鹿,不尽,又三家合取一鹿,恰尽。问城中有家多少?”
赏析:现在有一百只鹿要进城,城里的人家每家分一只,会有剩下的鹿;如果再将剩下的鹿,每3家合分一只,恰好分完。问城中共有几户人家?
解法一:若用代数解法,可设城中有x户人家,依题意得x+=100。解得x=75(户)。
解法二:若用算术解法,可把城中总户数看成单位“1”,则第一次分得的鹿的数量相当于“1”,而第二次分得的鹿的数量相当于总户数的。因为100只鹿恰好两次分完,所以这100所对应的分率就是1+。因此,城中总户数等于100÷(1+)=75(户)。
解法三:《孙子算经》中介绍的古人的解法也很巧妙:以盈不足取之,假令七十二家鹿不尽四,令之九十家鹿不足二十。置七十二于右上,盈四于右下,置九十于左上,不足二十于左下,维乘之所得并为实,并盈不足为法,除之,即得。
先任意假设城中有72家,则鹿的数量为1×72+72×=96(只),与题中100只相比盈4只;再假设城中有90家,则鹿的数量为1×90+90×=120(只),与题中100只相比不足20只。这道题就转化为“盈不足”问题:运用“盈亏求解公式”,(120-96)÷(90-72)= 100÷=75(户)。
有物不知数
我载了这样一个问题:
有物不知数,让我数一数;
三个三个数,剩二好孤独;
五五数剩三,七七又二单;
此物多少数,谁能说清楚?
赏析:有一些物品,不知道有多少个,只知道将它们三个三个地数,会剩下2个;五个五个地数,会剩下3个;七个七个地数,也会剩下2个。这些物品的数量至少是多少个?
解法:《孙子算经》解这道题目的“术文”和答案是:
“三三数之剩二,置一百四十;五五数之剩三,置六十三;七七数之剩二,置三十。并之,得二百三十三,以二百十减之,即得。”“答曰:二十三。”
这些话是什么意思呢?用通俗的话来说,就是:
先求被3除余2,并能同时被5、7整除的数,这样的数最小是140;
再求被5除余3,并能同时被3、7整除的数,这样的数最小是63;
然后求被7除余2,并能同时被3、5整除的数,这样的数最小是30。
于是,由140+63+30=233,得到的233就是一个所要求得的数。但这个数并不是最小的。
再用求得的“233”减去或者加上3、5、7的最小公倍数“105”的倍数,就得到许许多多这样的数:
{23,128,233,338,443,…}
从而可知,23、128、233、338、443、…都是这一道题目的解,而其中最小的解是23。
答:这些物品的数目至少是23个。
和尚分馒头
明代珠算家、数学教育家程大位的名著《算法传宗》里有一道名题:
一百馒头一百僧,
大僧三个更无争;
小僧三人分一个,
大小和尚各几丁?”
赏析:有一百个和尚分一百个馒头,大和尚一人分三个,小和尚三人分一个,正好分完没有剩余,试问大小和尚各有几人?”
方法一:用方程法解
解:设大和尚有x人,则小和尚有(100-x)人,根据题意列得方程:
3x+×(100-x)=100
解方程得: x=25
小和尚:100-25=75人
方法二:鸡兔同笼法
(1)假设100人全是大和尚,应吃馒头多少个?
3×100=30