文档介绍：第3讲凸集、凸函数、凸规划
凸集(Convex Set)
凸函数(Convex Function)
凸规划(Convex Programming)
凸性(Convexity),它在最优化的理论证明及算法研究中具有非常重要的作用.
凸集---定义
线性组合(bination)
仿射组合(bination)
凸组合(bination)
凸锥组合(Convex bination)
凸集---定义
例二维情况下,两点x1, x2 的
(a)线性组合为全平面;
(b)仿射组合为过这两点的直线;
(c)凸组合为连接这两点的线段;
(b)凸锥组合为以原点为锥顶并通过这两点的锥.
凸集---定义
凸集---定义
定义1
设集合
若对于任意两点
及实数
都有:
则称集合
为凸集.
常见的凸集:单点集{ x },空集,整个欧氏空间 Rn,
超平面:
半空间:
推论:
设
是凸集,
则
也是凸集,
其中
是实数.
(4)
S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸
组合仍然在S中.
凸集-----性质
注:
和集和并集有很大的区别,凸集的并集
未必是凸集,而凸集的和集是凸集.
例:
表示
轴上的点.
表示
轴上的点.
则
表示两个轴的所有点,
它不是凸集;
而
凸集.
凸集-----性质
定义设 S 中任意有限个点的所有凸组合所构成的集合称为S的凸包,记为H(S),即
凸集-----凸包(Convex Hull)
H(S)是Rn 中所有包含S 的凸集的交集.
H(S)是包含S 的最小凸集.