文档介绍：一招鲜就能吃遍天
【中图分类号】【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2013)07-0141-02
解析几何问题可以归结为两个基本问题:一是由条件求曲线方程;一是通过曲线方程研究曲线性质。考察2012年的18份全国各地高考试题,有14份试题的解析几何题都出现了求曲线的轨迹方程问题。能否顺利求出轨迹方程是解析几何大题得分的前提,因此求轨迹方程就成了高三一轮、二轮复****的重点。

近日笔者听了一节高三复****课《求轨迹方程》。授课过程非常典型. 教师首先提问:“我们都学过哪些求轨迹方程的方法?”学生回答:“有五步法、定义法、参数法、代入法、几何法、交轨法……。”在简单复****各种方法后教师总结道:“求轨迹方程方法很多,在具体解题中不同的问题应该用不同的方法解决。”对此,一个思索已久的问题突然涌现,我们说“授人以鱼”不如“授人以渔”,这说明数学教学中方法传授的重要性,数学解题的方法多样化也是非常有必要的,但方法是不是越多越好呢?我认为方法再多关键还是看学生能掌握多少,事实是首先许多学生记不住那么多方法;其次,即使记住了那么多方法,接下来更难的是面对具体问题如何正确判断题型并正确选择合适的解题方法;再进一步讲,近年高考出题越来越出人意料,当你面对考题发现你所学过的方法都不能奏效时,你又该怎么办呢?所以,笔者认为教学生多少方法并不是关键,关键是要揭示隐藏在这许多种方法背后的本质的共同点。只有抓住方法的本质,才能做到一招鲜吃遍天,甚至达到无法胜有法的境界。

求轨迹方程的本质是寻求轨迹上任意一点的横纵坐标x,y所满足的方程,所以我们只需写出动点满足的条件,代入点坐标列出方程,化简,再检验纯粹性、完备性,即可得到轨迹方程. 以上步骤其实就是教材中的求轨迹方程的基本方法――“五步法”。但“五步法”通常被认为是只适合用来解决一些简单的问题,而对于条件隐藏得较深、难度较大的问题,“五步法”则很难奏效。之所以出现这种看法,其实是对“五步法”中动点的条件理解太过肤浅、狭隘。
当动点满足的条件复杂时,动点实际上是受若干个相关联的条件共同限制,此时只需找到这些条件代入坐标并借助若干参数得到曲线的含参轨迹方程组,再消参化为普通方程即得。一般来说若建立方程组时用到n个参数m1,m2…mn,则需要找到n+1个独立条件,写成方程组f1(x,y,m1,m2…mn)=0f2(x,y,m1,m2…mn)=0…fn+1(x,y,m1,m2…mn)=0,这样方程组中共含有n+2个变量,由n+1个方程消去n个参数就可以得到关于x,y的方程。

以下以11、12年部分高考题作为典型例题来说明。
例1 (2012年江西理科卷第20题)已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|
■+■|=■?(■+■)+2。
(1)求曲线C的方程;(2)略。
解:(1)由于题中已经明确地给出了动点M(x,y)满足的条件:
|■+■|=■?(■+■)+2,代入点坐标,|■+■|=■,■?(■+■)=(x,y)?(0,2)=2y,得■=2y+2化简得曲线C的方程为x2=4y。
例2 (2012年四川理科第21题)如图,动点M与两定点A(-1,0),B(2,0