文档介绍：函数的周期性与对称性
1、函数的周期性
若a是非零常数,若对于函数y=f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。
①f(x+a)=f(x-a) ②f(x+a)=-f(x) ③f(x+a)=1/f(x) ④f(x+a)=-1/f(x)
2、函数的对称性与周期性
性质5 若函数y=f(x)同时关于直线x=a与x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|
性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|
性质7、若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=4|a-b|
(自身对称)
若,则具有周期性;若,则具有对称性:“内同表示周期性,内反表示对称性”。
1、图象关于直线对称
推论1: 的图象关于直线对称
推论2、的图象关于直线对称
推论3、的图象关于直线对称
2、的图象关于点对称
推论1、的图象关于点对称
推论2、的图象关于点对称
推论3、的图象关于点对称
例题分析:
,,当时,,则等于( )
(A) (B) (C) (D)
2、(山东)已知定义在上的奇函数满足,则的值为( )
A.-1
,求
,若,则___
,且它的图像关于直线对称。
(1)求的值;(2)证明是周期函数;
(3)若,求时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。
(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式.
巩固练****br/>(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为( )
A.(1,3) B.(-1,1) C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1)
(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=1-x,则:①2是函数f(x)的周期;②函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;
③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;④当x∈(3,4)时,f(x)=x-3.
其中所有正确命题的序号是________.
=f(x),满足对任意t∈R,都有f(t)=f(1-t),且x∈时,f(x)=-x2,则f(3)+f的值等于( )A.- B.-C.- D.-
=f(x)为R上的周期为6的周期函数,且满足f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),则f(-6)等于________.
5、(1);
(2)
(3)若设
.
(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(3)的值;(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积.
,且是偶函数,在区间上,求时,的解析式.
, 判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.
,周期,,在上是二次函数,且在时函数取得最小值.
(1)证明:;(2)求的解析式;
(3)求在上的解析式.
,(1)判断的奇偶性;(2)证明:
11、定义在上的函数是减函数,且是奇函数,若,求实数的范围。
12.(重庆文)已知定义域为的函数是奇函数。
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围。
复****题:
已知数列,其前项和为,点在抛物线上;各项都为正数的
等比数列满足.
(Ⅰ)求数列,的通项公式;(Ⅱ)记,求数列的前项和.
△中,角、、所对的边分别是、、,且(其中为△的面积).
(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,△的面积为3,求.
,等级系数依次为1,2,3,4,,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:
1
2
3
4
5
频率

(1)若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求,,的值;
A
B
C
P
H
(Ⅱ)在(1)的条件下,