文档介绍：《基本不等式和柯西不等式》复****课教学设计
一:教学目标
复****基本不等式和柯西不等式及其推广形式,会用这两个不等式解决一些简单问题,例如证明不等式和求函数最值,掌握相关配凑的技巧,感受数学的美妙,提高数学素养,并培养学生的探究精神。
二、重点:熟练运用均值不等式和柯西不等式及其推论形式
难点:求函数最值与证明不等式时的配凑技巧及“≥”或“≤”中“=”成立的条件。
四、教学媒体:投影仪
五、教学过程:
一、引入:(教材回归)
1、定理1:如果,那么(当且仅当时取“=”)
2、定理2:如果是正数,那么(当且仅当时取“=”)
3、定理3:如果,那么(当且仅当时取“=”)
推论:如果,那么。(当且仅当时取“=”)
4、算术—几何平均不等式:
①.如果则:叫做这n个正数的算术平均数,叫做这n个正数的几何平均数;
②.基本不等式: ≥
5、定理1(二维形式的柯西不等式)
若都是实数,,等号成立
几何意义:设,为平面上以原点O为起点的两个非零向量,它们的终点分别为A(),B(),那么它们的数量积为,
而,,
所以柯西不等式的几何意义就是:,
其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立。
6、定理2:(柯西不等式的向量形式)设,为平面上的两个向量,则,其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立。
7、定理3:(三角形不等式)设为任意实数,则:
8、定理4:(柯西不等式的推广形式):设为大于1的自然数,(1,2,…,)为任意实数,则:,其中等号当且仅当时成立
二、精选例题
,最小值等于2的函数是( )
=x+
=cosx+(0<x<)
=
=ex+-2
例2、已知正数x、y满足2x+y=1,求的最小值
错解,∵1=2x+y≥∴≤即≥
∴≥≥=即的最小值为
正解1:∵2x+y=1
∴==2+++1≥
当且仅当= 即y=时,取“=”号
而 y= x=
2x+y=1 y= 即此时ymix=
正解2:∵==3++(以下同1)
即。
例3、求函数的最大值,下列解法是否正确?为什么?
解一:
∴
解二:当即时

答:以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=