文档介绍：基本不等式及柯西不等式专题
b c a
.已知正头数 a, b, c满足 a+b+c=3,求证：> 3
a2 b2 c2
.已知实数a, b, c, d满足a+b+c+d= 1, 2a2+ 3b2+ 6c2+ d2 = 25,求实数基本不等式及柯西不等式专题
b c a
.已知正头数 a, b, c满足 a+b+c=3,求证：> 3
a2 b2 c2
.已知实数a, b, c, d满足a+b+c+d= 1, 2a2+ 3b2+ 6c2+ d2 = 25,求实数d的取值范围
.已知不等式a +b + J2cw x2 -1对于满足条件a2 +b2 +c2 =1的任意实数a,b, c恒成立，求实数x的取
值范围.
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. a,b,c均为正数，且a+2b+4c = 3,求 ,的最小值，并指出取得最小值时a,b,c的值.
a 1 b 1 c 1
.已知 a, b是正数，且 a+b=1,求证：（ax+by）（bx十ay）〉xy.
. a , b是正数，求证（a+1）（2b+ 1—}> — . b 2a 2
.已知实数x, y, z满足3x+2y+z=1,求x42V +3z的最小值.
.已知 x2+ 2y2+3z2 = 18 ,求 3x+2y + z 的最小值.
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、y、z均为正数，求证:
, y, z满足x+2y-3z=7,求x2 + y2 + z2的最小值.
基本不等式及柯西不等式专题
b c a
.已知正实数 a, b, c满足a+b+c=3,求证：>3
a2 b2 c2
【考点】基本不等式.
【证明】:正实数 a, b, c满足a+b+c=3,
abc< 1,
,b c a b c a 1 c
4 2 4 2 庞3[JF * f =3]~^~ 3 a b c - a b c ，abc
, b, c, d满足a+b+c+d= 1, 2a2+ 3b2+ 6c2+ d2 = 25,求实数d的取值范围
【解】由柯西不等式得
(a +b +c j = 2a
工+73b显 /L (2a2 +3b2 +6c2 ) / +- +- l'
3 6
当且仅当2a =3b =6c时取等号.
••・ a+b+c =1 —d , 2a2 +3b2+6c2 =25—d2,
••• (1 -d )<25-d2,即 d2 -d -12<0 ,解得 d w [-3,4].
.已知不等式a +b +V2c< x2 -1对于满足条件a2 +b2 +c2 =1的任意实数a,b, c恒成立，求实数x的取
值范围.
【考点】本题考查了柯西不等式.
［解］因为(a+b+72c)2w (1+1+2 )(a2+b2+c2 ) = 4 ,所以 a+b + j2c92 ,
又 a+b+J2c& x2 -1 对任意实数 a,b,c恒成立，故 x2 —1 ) (a+b + J2c)max = 2 ,
解得 x< — J3,或 x> 73.
. a,b,c均为正数，且a+2b+4c = 3,求 '的最小值，并指出取得最小值时a,b,c的值.
a 1 b 1 c 1
【考点】柯西不等式.
【解】因为 a+2b+4c=3,所以(a+1)+2(b+1)+