文档介绍：1988 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答及评分标准
数学(试卷一)
一.(本题满分 15 分,每小题 5 分)
¥
( x - 3)n
(1) 求幂级数å
的收敛域.
n=1
n ×3
( x - 3)n+1
解:因 lim
( n +1) ×3n+1
= lim
n
x - 3
=
1
x - 3
, 故
1
x -3
<1即0 < x < 6 时,
( x - 3)n
n ®¥
n®¥
3( n +1)
3
3
n ×3n
幂级数收敛.
„„3 分
¥
1
当 x = 0 时,原级数成为交错级数å( -1)n
,是收敛的.
„„4 分
n=1
n
¥
1
当 x = 6 时,原级数成为调和级数å
,是发散的.
„„5 分
n=1
n
所以,所求的收敛域为[0, 6).
(2) 已知 f(x)= e x 2 ,f [j( x)]=1-x,且 j (x) ³ j (x)并写出它的定义域.
解:由 e[j( x)]2 =1- x ,得 j( x) =
„„3 分
ln(1 - x) .
由 ln(1 - x) ³ 0 ,得1 - x ³1 即 x £ 0 .
„„5 分
所以j( x) = ln(1 - x) ,其定义域为( -¥, 0).
(3)设 S 为曲面 x2 + y2 + z2 =1 的外侧,计算曲面积分 I = òòx3dydz + y3dxdx+ z3dxdy.
s
解:根据高斯公式,并利用球面坐标计算三重积分,有
I = 3òòò( x 2
+ y 2 + z 2 )dv (其中 W 是由 S 所围成的区域)
„„2 分
W
2 p
p
1
= 3ò0
dq
ò0
d jò0 r 2 × r 2 sin jdr
„„4 分
12p
.
„„5 分
= 5
1988 年•第 1 页
二、填空题:(本题满分 12 分,每小题 3 分)
(1)
若
f(t)= lim t (1
+
1
)
2tx ,则
¢
2t
x
x®¥
2,-1<x£0
(2)
设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在区间(-1,1]
上的定 f(x)= {x3 ,0<x£1 ,则 f(x)的付立叶级
数在 x=1 处收敛于
2
.
3
x3 -1
1
(3)
设 f(x)是连续函数,且ò0
f (t)dt = x, 则 f(7)=
.
12
(4) 设 4*4 矩阵 A= (a,g 2,g 3,g 4 ) ,B= (b,g 2,g3,g 4 ) ,其中,a, b,g 2 ,g 3,g 4 均为 4 维列向量,
且已知行列式
A
= 4,
B
=1,则行列式
A + B
=.
40 .
三、选择题( 本题满分 15 分,每小题 3 分)
(1)
若函数 y=f(x)有 f ¢(x
) =
1
,则当 Dx ® 0 时,该函 x= x
处的微分 dy 是
(B)
0
2
0
(A) 与 Dx 等价的无穷小
(B) 与 Dx 同阶的无穷小
(C) 比 Dx 低阶的无穷小
(D) 比 Dx 高阶的无穷小