勾股定理证明方法.doc

文档介绍：勾股定理的证明
【证法1】(课本的证明)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等. 即
, 整理得.
【证法2】(邹元治证明)
以a、b 为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,
∴∠AHE = ∠BEF.
∵∠AEH + ∠AHE = 90º,
∴∠AEH + ∠BEF = 90º.
∴∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴四边形EFGH是一个边长为c的
正方形. 它的面积等于c2.
∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,
∴∠HGD = ∠EHA.
∵∠HGD + ∠GHD = 90º,
∴∠EHA + ∠GHD = 90º.
又∵∠GHE = 90º,
∴∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形,它的面积等于.
∴. ∴.
【证法3】(赵爽证明)
以a、b 为直角边(b>a), 以c为斜
边作四个全等的直角三角形,则每个直角
三角形的面积等于. 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,
∴∠HDA = ∠EAB.
∵∠HAD + ∠HAD = 90º,
∴∠EAB + ∠HAD = 90º,
∴ ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c2.
∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,
∠HEF = 90º.
∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于.
∴.
∴.
【证法4】(1876年美国总统Garfield证明)
以a、b 为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上.
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
∴∠ADE = ∠BEC.
∵∠AED + ∠ADE = 90º,
∴∠AED + ∠BEC = 90º.
∴∠DEC = 180º―90º= 90º.
∴ΔDEC是一个等腰直角三角形,
它的面积等于.
又∵∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,
∴ AD∥BC.
∴ ABCD是一个直角梯形,它的面积等于.
∴.
∴.
【证法5】(梅文鼎证明)
做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交
DF于点P.
∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴∠EGF = ∠BED,
∵∠EGF + ∠GEF = 90°, ∴∠BED + ∠GEF = 90°,
∴∠BEG =180º―90º= 90º.
又∵ AB = BE = EG = GA = c,
∴ AB