文档介绍：七、平面弯曲梁的强度计算
在研究了平面弯曲梁的内力之后,从剪力图和弯矩图上可以确定发生最大剪力和最大弯矩的危险截面。剪力是由横截面上的切应力形成,而弯矩是由横截面上的正应力形成。实验表明,当梁比较细长时,正应力是决定梁是否破坏的主要因素,切应力则是次要因素。因此,本节着重研究梁横截面上的正应力。
1 纯弯曲时梁的正应力

梁在AC和DB两段内,横截面上既有弯矩又有剪力,这种弯曲称为剪切弯曲;
在梁的CD段内,横截面上只有弯矩没有剪力,且全段内弯矩为一常数,这种弯曲称为纯弯曲。

取CD段为研究对象:
纯弯曲时梁的变形为:
(1)梁变形后,横向线I-I和II-II仍为直线且与梁的轴线垂直,但倾斜了一个角度;
(2)纵向线ab缩短了,而cd伸长了。
※梁纯弯曲时的平面假设:横截面变形前为平面,变形后仍为平面,且仍垂直于梁的轴线,但旋转了一个角度。
※据此可知梁的各纵向线受到轴向拉伸和压缩,因此横截面上只有正应力。
由于材料是均匀连续的,所以变形也是连续的,于是由压缩过渡到伸长之间,必有一条纵向线OO′的长度保持不变。若把OO′纵向线看成材料的一层纤维,则这层纤维既不伸长也不缩短,称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。
设中性层的曲率半径为,纵向线到中性层的距离为,则纵向线的绝对伸长为:
线应变为:
是中性层的曲率,由梁及其受力情况确定,对于整个截面,它是一个常量。线应变的大小与其到中性层的距离成正比。
由虎克定律得:
※横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。
※在梁的横截面上任取一点K,并取微面积dA,设z为横截面的中性轴,K点到中性轴的距离为,若K点的正应力为,则微面积dA上的法向内力为。截面上各处的法向内力构成一个空间平行力系。
由
,而为截面对z轴的静矩,∵A≠0,∴
说明横截面的形心在z轴上,即中性轴必通过横截面的形心。
由,得:

令,则
——横截面对中性轴z的惯性矩
——表示梁的弯曲程度(曲率),愈大,梁弯曲愈甚。
与成反比,所以表示梁抵抗弯曲变形的能力,称为抗弯刚度。

讨论:中性轴上y=0,故=0
y=ymax时,=max,即最大正应力产生在离中性轴最远的边缘上,
※是在纯弯曲的情况下导出的,而一般的梁横截面上既有弯矩又有剪力,因此用上式计算应力就有误差,但当梁的跨度大于截面高度的五倍时,用上式计算应力的误差不到5%,因此在这种情况下上式是可以应用的。当<5时,也可近似地应用上式来计算,但要注意计算的结果偏低。
2 惯性矩的计算
1、矩形截面
,
同理可得:
2、圆形截面: (——圆截