文档介绍：说明
本大纲适用于数学与应用数学专业专科的教学
本课程的性质
复变函数论与其他数学分支有着密切的联系,它作为一个强有力的工具可用来解决如解析数论,微分方程,概率论与数理统计,计算数学,拓扑学,微分几何等数学分支中所提出的有关理论及实际问题,在工程技术中也有广泛的应用。是高等师范院校数学专业的必修课程。是专科学生数学分析已学****的基础上,在复数域内研究解析函数特性的一门课程,有利于提高专科学生的数学素养。
本课程的教学目的和要求
本课程的教学目的是阐明复变函数论中一些最基本的概念,方法和理论,使学生对数学分析的某些内容加深理解和提高认识,为学生今后进一步学****其他数学知识奠定基础。在教学上,要从专科学生实际情况出发,重点讲授复变函数与复数域,复变函数的概念;解析函数及柯西—黎曼条件;研究解析函数的积分方法和级数方法,在可能情况下,简要介绍解析函数的参数理论和几何理论。
教学时数安排
本课程总学时有72学时,各部分学时安排如下:
课程时数安排表
章节
教学内容
教学时数
第一章
复数与复变函数
12
第二章
解析函数
12
第三章
复变函数的积分
14
第四章
解析函数的级数表示法
14
第五章
解析函数的罗朗展式与孤立奇点
14
第六章
反函数理论及应用
6
教材选用《复变函数论》(第二版)仲玉泉编,高等教育出版社出版。
教学内容和教学要求
第一章复数与复变函数
教学内容
复数,复数域,复平面,复数的模与辐角,复数的乘幂与方根,共轭复数,复数在几何上的举例。
复平面上的点集,平面点集的几个基本概念,区域与曲线。
复变函数,复变函数的概念,复变函数的极限与连续性。
复球面与无穷远点,复球面,扩充复球面上的几个概念。
教学要求
练掌握复数的各种表示方法以及四则运算,乘幂和共轭运算。
了解复平面上点集的概念,了解区域的概念,单连通区域,多连能区域的划分。
了解简单闭曲线,光滑曲线的定义,能用复数的方程式不等式表示一些常见的区域与曲线。
掌握复变函数的概念理解映射的含义,理解复变函数与两个实二元函数之间的关系。
了解复变函数的极限与连续性概念,知道它们与实一元函数极限与连续的异同。
重点与难点
重点是复变函数表示法之间的转换,区域的确定,复变函数的概念。难点是复球面概念,复变函数理解及复平面上两个集合间的映射,以及复变函数的极限和连续性
第二章解析函数
教学内容
解析函数的概念与柯西—黎曼条件,复变函数的导数与微分,解析函数及简单给出柯西黎曼条件
初等解析函数,指数函数,三角函数及双曲函数
初等复值函数,根式函数,对数函数,一般幂函数,一般指数函数,反三角函数与反双曲函数,具有多个有限支点情形。
教学要求
理解复变函数的导数与复变函数解析的概念,弄清复变函数可微与实函数可微的关系。
掌握复变函数解析的判别方法,熟悉函数解析的充要条件,会判断函数在一点或区域上的解析。
了解指数函数,对数函数,三角函数与双曲函数的定义以及它们的主要性质,对它们在单值域内的解析要熟知。
重点与难点
重点是一个函数是否解析的判定,求函数的解析区域以及初等函数的函数值。难点是弄清可导与解析之间关系,复变函数的解析论与实二元函数可微论之间的关系和初等函数的多值论。
复变函数