文档介绍：线性代数复****题答案
填空题
设,则 20
设,则
设,则
设,则
矩阵的秩 2 ,矩阵的列向量组的一个最大线性无关组为或或或或
已知三阶方阵的行列式,则
若,则矩阵的特征值是0,1
当 1 时,矩阵是正交矩阵。
行列式 9
,则
向量组的一个最大无关组是或或
四个三维向量一定线性相关
线性方程组有唯一解的充要条件是
二次型的矩阵
形式为
若向量,则用组合的表达式是
设是正交矩阵,则
二、计算阶行列式
1

2
三、求非齐次线性方程组的通解
1
解
是任意常数)
2 解
,是任意常数)
四、设三阶方阵、满足且,
(1)求;(2)证明可逆。
证(1)
(2) , 又
所以可逆
五、设三阶方阵、满足,,求。
解
六、若为阶可逆方阵,证明:
(1);(2)。
证(1)因为所以两边取行列式得,
由于故.
(2)因为由的可逆性及可知可逆,且
.
又由伴随矩阵的性质得所以
.
由得
七、设是阶实满秩矩阵,试证明:是正定矩阵。
证因为,所以是实对称阵,
任给维向量, 因A为阶实满秩矩阵, 所以, 因此二次型
从而是正定矩阵。
八、1 设
,求该向量组的一个极大无关组,并用极大无关组线性表出向量组中其它的向量。
解,
极大无关组为,
2 ,试判定
该向量组的相关性,求向量组的秩,及其一个极大无关组。
解,
秩,向量组线性相关,任何两个向量构成极大无关组。
九、设向量组线性无关,判别向量组
是否线性无关,并加以证明。
证令即
因线性无关, 所以

因为系数行列式,所以方程组有非零解,从而线性相关。
十、设向量组线性无关,证明向量组
线性相关。
证令即
因线性无关, 所以
系数行列式
所以方程组有非零解,从而线性相关。
十一、试证向量组线性无关的充要条件是向量组
线性无关。
证必要性:若线性无关,令
即,因为线性无关,所以解得,故线性无关。
充分性:若线性无关,记向量组(I),向量组(II),显见组(II)可由组(I)线性表示,则有,而,从而。但组(I)中仅含三个向量,所以,故线性无关。
十二、用正交变换化二次型为标准形,并求出所用正交变换。
解二次型的矩阵,特征多项式,特征值。,标准形
十三、确定实数的取值范围,使二次型为正定的。
解,一阶主子式二阶主子式三阶主子式,所以或
十四、设方阵,相似,求值,并求
可逆阵,使.