文档介绍：高数论文
10物本常杰
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求数列极限的方法总结
极限一直是数学分析中的一个重点内容,而对数列极限的求法可谓是多种多样,通过归纳和总结,我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义,也要注意运用两个重要极限,其中,可以利用等量代换,展开、约分,三角代换等方法化成比较好求的数列,也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理,在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法,在本文中都一一列举了。

﹛Xn﹜是一个数列,a是实数,如果对任意给定的〉0,总存在一个正整数N,当n〉N时,都有<,我们就称a是数列{Xn}.
例1: 按定义证明.
解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n
令1/n<,则让n>即可,
存在N=[],当n>N时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n<成立,
所以.

对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则.
例2: 求,其中.
解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限
,
原式=,
3. 利用夹逼性定理求极限
若存在正整数N,当n>N时,有Xn≤Yn≤Zn,且,则有.
例3:求{}的极限.
解: 对任意正整数n,显然有
,
而,,由夹逼性定理得
.

通过换元将复杂的极限化为简单.
,此时
解:若有,令则

,并求其极限。
证: 令,易知{}递增,且
我们用归纳法证明≤2. 显然。
若≤2 则。
故由单调有界原理{}收敛,设→,则在中两边取极限得即
解之得=2 或=-1 明显不合要求,舍去,
从而
,再求极限.
例6:求极限
解:
S=
设= 则有S<
S2=S*S<S*=
而,再由夹逼性定理,得
=0
,.
例7:求
解: 原式=

将数列化成自己熟悉的等价无穷小的形式然后求极限.
例8:求
解:当的时候,,.
而此时,,所以
原式=

例9:求
解: 是待定型.
=

例10:求
解: =
设,则在[0,1]内连续,

所以,
所以原式=
.
设据必要条件知所求表达式的极限为0.
例11:求
解:设,则
所以该级数收敛,所以=0
、合并、约分和因式分解以及分子分母有理化,三角函数的恒等变形。
例12. 求
解:
法一:原