文档介绍：基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
(1)若,则(2)若,则
2、基本不等式一般形式(均值不等式) 若,则
3、基本不等式的两个重要变形
(1)若,则(2)若,则
总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值; 当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值;
特别说明:以上不等式中,当且仅当时取“=”
4、求最值的条件:“一正,二定,三相等”
5、常用结论
(1)若,则(当且仅当时取“=”)
(2)若,则(当且仅当时取“=”)
(3)若,则(当且仅当时取“=”)
(4)若,则
(5)若,则
特别说明:以上不等式中,当且仅当时取“=”
6、柯西不等式
(1)若,则
(2)若,则有:
(3)设是两组实数,则有
二、题型分析
题型一:利用基本不等式证明不等式
1、设均为正数,证明不等式:≥
2、已知为两两不相等的实数,求证:
3、已知,求证:
已知,且,求证:
已知,且,求证:
6、选修4—5:不等式选讲
设均为正数,且,证明:(Ⅰ); (Ⅱ).
7、选修4—5:不等式选讲: 已知,求证:
题型二:利用不等式求函数值域
1、求下列函数的值域
(1) (2) (3) (4)
题型三:利用不等式求最值(一)(凑项)
1、已知,求函数的最小值;
变式1:已知,求函数的最小值;
变式2:已知,求函数的最大值;
练****1、已知,求函数的最小值;
2、已知,求函数的最大值;
题型四:利用不等式求最值(二)(凑系数)
1、当时,求的最大值;
变式1:当时,求的最大值;
变式2:设,求函数的最大值。
2、若,求的最大值;
变式:若,求的最大值;
3、求函数的最大值; (提示:平方,利用基本不等式)
变式:求函数的最大值;
题型五:巧用“1”的代换求最值问题
1、已知,求的最小值;
法一:
法二:
变式1:已知,求的最小值;
变式2:已知,求的最小值;
变式3:已知,且,求的最小值。
变式4:已知,且,求的最小值;
变式5:(1)若且,求的最小值;(2)若且,求的最小值;
变式6:已知正项等比数列满足:,若存在两项,使得,求的最小值;
题型六:分离换元法求最值(了解)
1、求函数的值域; 变式:求函数的值域;
2、求函数的最大值;(提示:换元法) 变式:求函数的最大值;
题型七:基本不等式的综合应用
1、已知,求的最小值
2、(2009天津)已知,求的最小值;
变式1:(2010四川)如果,求关于的表达式的最小值;
变式2:(2012湖北武汉诊断)已知,当时,函数的图像恒过定点,若点在直线上,求的最小值;
3、已知,,求最小值;
变式1:已知,满足,求范围;
变式2:(2010山东)已知,,求最大值;(提示:通分或三角换元)
变式3:(2011浙江)已知,,求最大值;
4、(2013年山东(理))设正实