文档介绍：1
即得所证。
h
t ∂
x ∂ x ∂
− 1 = l
2
) (
) ) x ( E ( x ρ
=
x
u ∂∂ u ∂
2
l
为: 点处截面的半径
x
,则 1 证:如图,不妨设枢轴底面的半径为
= ) x ( s
常量,则得若
h
1) 如图( 为圆锥的高其中
x ∂
t ∂
∂
∂
h x h x
tt
x
) ESu ( = u ) x ( s ) x ( ρ
2
−
−=
) 1 ( ρ] ) 1 [( E
∂
试证:圆锥形枢轴的纵振动方程为 3.
2 2
∂
∂
u ∂ x u x
2
0 → x ∆ x ∆
得,再令利用微分中值定理,消去
x ∂
∆+
x x x x tt
0 = x
x
). t ( f −) u σ−(
| ) ( −| ) ∆+ ( ESu = ) t , x ( ⋅∆⋅) ( ) ( ρ
x ESu x x u x x s x
∣即
于是得运动方程
u ∂
x ∂
0
= x
x x
)] ( ) , 0 ( [ E
t v − t u k =
u x x S x x E t x u x S x E
) ( ) (
). t , x ∆+ x ( ) ∆+ ( ) ∆+ ( ); , (
∣
u ∂
0 = x
端固定在弹性支承上,则得边界条件同理,若
), x ( S
) x ∆+ x , x (
两端的力分别为则作用在杆段设杆的横截面面积为
x ∂
l = x
0 = u σ+
) (
。∣
u ∂
x
) x ( E
的杨氏模量。是在点其中
t v
, 0 = ) (
得边界条件特别地,若支承固定于一定点上,则
x
t x u x E = t x T
) , ( ) ( ) , (
x ∂
E
l x
=
) t ( f u σ+
= σ= ) (
其中∣
u ∂
k
x
x
u 0 → x ∆
) t , x ( T ) t , x (
等于。由虎克定律,张力的相对伸长为,取极限得在点令
k
为支承的刚度系数。由此得边界条件其中
x ∂ x ∆
x
l = x
)] ( ) , ( [ E ) t , x ∆θ+ x ( u =
t v − t l u k −=
其相对伸长等于
∣
u ∂ x ∆−)] t , x ( u + x [ −)] t , x ∆+ x ( u + x ∆+ x [
t x x u x x t x u x
) ( ) , ( l = x ) t ( v ) , ∆+ ( + ∆+ ); , ( +
t v − t l u
。由虎克定律有端支承的伸长为给出,则在由函数
l = x
t t
端固定在弹性支承上,而弹性支承固定于某点,且该点离开原来位置的偏移若(3)
这段杆两端的坐标分别为: 的相对伸长。在时刻刻
x ∂
+ x x
x ∆
证:在杆上任取一段,其中两端于静止时的坐标分别为
。现在计算这段杆在时与
x
0 =
0 = x
0 =
为自由端,则相应的边界条件为同理,若
∣
u ∂
E ρ
为杨氏模量。为杆的密度, 其中
x ∂
l = x
=0 | 界条件为
u ∂
⎝
⎝
⎠
⎠
∂∂
x
∂∂
t
x t
x ∂
⎜
⎜
⎟
⎟
) (
E
=
x ρ
l = x
⎛
⎛
⎞
⎞
) x ( E = ) t , l ( T
l = x l = x
∂∂
u
∂∂
u
(2)
等于零,因此相应的边| 的张力为自由端,则杆在若
u ∂
) t , x ( u
t l u t u
. 0 = ) , ( , 0 = ) , 0 (
t
离开原来位置的偏移,假设振动过程发生的张力服从虎克定律,试证明刻
满足方程
1
x u(x,t)
.细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动,以
点处的点在时表示静止时在
l = x , 0 = x
(1)
杆的两端被固定在解:
两点则相应的边界条件为
1 1
1
1
方程的导出。定解条件