文档介绍：第一章．波动方程
§ 1 方程的导出。定解条件
1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以 u(x,t) 表示静止时在 x 点处的点
在时刻 t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明 u( x,t ) 满足
方程
t
x
u
x
E u
t
x
其中
为杆的密度，
E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为
x 与 x
x 。现在计算这段杆
在时刻 t 的相对伸长。在时刻
t 这段杆两端的坐标分别为：
x
u( x,t ); x
x u(x
x, t)
其相对伸长等于
[ x
x
u(x
x,t )]
[ x
u( x,t )]
x
(
x
,
)
x
ux
x t
令
x
0 ，取极限得在点
x 的相对伸长为 ux
( x,t ) 。由虎克定律，张力
T( x,t ) 等于
T ( x,t )
E( x)u x ( x,t )
其中 E(x) 是在点 x 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为
S(x), 则作用在杆段 ( x, x
x) 两端的力分别为
E( x)S( x)u x (x,t ); E(x
x)S( x
x)ux
(x
x, t).
于是得运动方程( x) s( x)
x
utt
( x, t)
ESux ( x
x) |x
x
ESux (x) |x
利用微分中值定理，消去
x ，再令
x
0 得
( x)s( x)utt
(ESux )
x
若 s( x)
常量，则得
(x)
2 u
=
( E( x)
u
2
)
t
x
x
即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设 (1) 端点固定， (2)端点自由， (3)端点固定在弹性支承上，试
分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解： (1)杆的两端被固定在 x 0, x l 两点则相应的边界条件为
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u(0,t) 0,u(l ,t ) 0.
(2)若 x
l 为自由端，则杆在 x
l 的张力 T (l , t)
E( x)
u
等于零，因此相应
| x l
u |
x
的边界条件为
x l
=0
x
u ∣ x 0
同理，若 x
0 为自由端，则相应的边界条件为
0
x
若 x l 端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的
偏移由函数 v(t ) 给出，则在 x
l 端支承的伸长为
u(l ,t ) v(t ) 。由虎克定律有
E
u ∣ x l
k[u(l ,t )
v(t)]
x
其中 k 为支承的刚度系数。由此得边界条件
(
u
u) ∣ x l
f (t)
其中
k
x
E
特别地，若支承固定于一定点上，则
v(t)
0, 得边界条件