文档介绍：§
一、椭圆方程.
1. 椭圆方程的第一定义:
⑴①椭圆的标准方程:i. 中心在原点,焦点在x轴上:.
ii. 中心在原点,焦点在轴上:.
②一般方程:.
③椭圆的标准方程:的参数方程为(一象限应是属于).
⑵①顶点:或.
②轴:对称轴:x轴,轴;长轴长,短轴长.
③焦点:或.
④焦距:.
⑤准线:或.
⑥离心率:.
⑧通径::和
⑶共离心率的椭圆系的方程:椭圆的离心率是,方程是大于0的参数,的离心率也是我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.
⑸若P是椭圆:,若,则的面积为(用余弦定理与可得). 若是双曲线,则面积为.
二、双曲线方程.
1. 双曲线的第一定义:
⑴①双曲线标准方程:.
一般方程:.
⑵①i. 焦点在x轴上:
顶点: 焦点: 准线方程渐近线方程:或
ii. 焦点在轴上:
顶点:. 焦点:. 准线方程:. 渐近线方程:或,参数方程:或.
②轴为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c.
③离心率.
④准线距(两准线的距离);通径.
⑤参数关系.
⑶等轴双曲线:双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率.
⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,,它们具有共同的渐近线:.
⑸共渐近线的双曲线系方程:的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时,它的双曲线方程可设为.
例如:若双曲线一条渐近线为且过,求双曲线的方程?
解:令双曲线的方程为:,代入得.
⑹直线与双曲线的位置关系:
区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;
区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条;
区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;
区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条;
区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.
小结:,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.
,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交
和两根之和与两根之积同号.
⑺若P在双曲线,则常用结论
1:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
2:P到焦点的距离为m = n,则P到两准线的距离比为m︰n. 简证: = .
三、抛物线方程.
3. 设,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
图形
焦点
准线
范围
对称轴
轴
轴
顶点
(0,0)
离心率
焦点
注:①顶点.
②则焦点半径;则焦点半径为.
③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.
④(或)的参数方程为(或)(为参数).
四、圆锥曲线的统一定义..
4. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点F和定直线的距离之比为常数的点的轨迹.
当时,轨迹为椭圆;当时,轨迹为抛物线;当时,轨迹为双曲线;当时,轨迹为圆(,当时).
注:椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
椭圆
双曲线
抛物线
定义
,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹
,F