文档介绍：数值传热学
第七章求解椭圆型问题的涡量流函数方法
主讲陶文铨
西安交通大学能源与动力工程学院
热流科学与工程教育部重点实验室
2012年11月12日, 西安
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第7 章求解椭圆型问题的涡量流函数方法
强制对流换热涡量流函数方程及其离散
涡量流函数方法中边界条件的确定
固体壁面上涡量流函数条件的确定
涡量流函数法用于求解有限空间中的对流换热
两个著名例子
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强制对流换热涡量流函数方程及其离散
直角坐标系中涡量流函数的定义
强制对流换热涡量流函数控制方程
涡量流函数控制方程的离散化
涡量流函数法的求解步骤
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强制对流换热涡量流函数方程及其离散
此法历史上的作用;消去压力后不存在速度与压
力耦合问题;讨论重点在于边界条件处理。
二维直角坐标系中涡量流函数的定义
1. 流函数(Stream function)

对二维不可压流动:  u; v
y x
连续性方程自动满足:
uv
()()
xyxy y x 0
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2. 涡量(Vorticity)
对二维不可压流动涡量定义为:
uv

yx
这一定义与三维涡矢量在z轴上的投影差一个符号:

ij k

x y z
uv w
vu

z x y
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强制对流换热涡量流函数控制方程
1. 方程
对二维稳态不可压缩流体,不计重力时,N-S方程为
uu  p 22 uu
()()uv(1)
x yxxy 22
vv  p 22 vv
()()uv(2)
x yyxy 22

[(1)][(2)],
为从两式中消去压力梯度,yx再利用上述
定义式,得的扩散-对流方程:

22
()()uv
x y x22y
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守恒形式为: 
()()uv
()()
xxxxyy
2. 方程
将定义式中的速度以流函数关系式代入:
uv22
() ( ) 0
yxyy x x xy22

3. T 方程
()()uT vT  T  T R
()()
xxxcxpppy c y c
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4.  T 的通用控制方程
()()au av
()()S
xxxxyy

对流项保留u,v而不用,代替的原因:上式仅
yx
是通用对流扩散方程的一个例子,本课程提供的二维
通用程序同样可以计算涡量流函数。
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涡量流函数控制方程的离散化
,,, T 置于同一套网格上
2. 控制容积法离散,格式选择及源项的线性化等与
原始变量法相同;
3. 确定离散方程系数需要界
面流速,用上一次迭代得出
的流函数计算:
++()+
u ) ne se NNE P E 
eeyy 4y
+++()
P E SSEN NES SE
4yy4
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4. 边界条件:除出口边界外均可表示成第一类的形式。
涡量流函数法的求解步骤
0
 ij, 场,计算方程的系数与边界值(公式见后)
(1)
,得i, j
(1) (1)
, ij 求解流函数方程,得 ij,
(1) (1)
 ij, 更新边界涡量,得B
(1) (1)
 ij, B 重复2-4步,直至收敛
 ij, 计算流速u,v
,v,求解其它标量方程(常物性问题);
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