文档介绍：第四章热传导问题的数值解法
传热学 Heat Transfer
导热问题研究的目的
热流量
温度分布
强化/减弱导热的措施
导热问题研究的基本方法
理论分析法
数值计算法
实验方法
有限差分法
分子动力学模拟法
边界元法
有限元法
有限差分法的基本思想:用有限小的差分、差商近似代替无限小的微分、微商,用代数形式的差分方程近似代替微分方程,并通过求解差分方程求取有限时刻物体有限节点上的温度值。
传热学 Heat Transfer
数值计算方法的基本思想
将时间、空间坐标系中连续的物理量场,用有限离散点上数值的集合来代替,并通过求解离散点物理量组成的代数方程来求解,所得的解称为数值解。
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数值计算方法的优点:
多维
变物性
复杂几何形状
复杂边界
二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题
传热学 Heat Transfer
Step-1: 控制方程及边界条件
二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题
传热学 Heat Transfer
Step-2: 计算域离散化
x
y
n
m
(m,n)
M
N
基本概念:
网格线
节点(内节点、边界节点)
控制容积
界面线
步长
均匀/非均匀网格
二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题
传热学 Heat Transfer
Step-3: 建立节点离散(代数)方程
基本方法:
Taylor(泰勒)级数展开法
控制容积平衡法(热平衡法)
内节点
边界节点
平直边界节点
边界内节点
边界外节点
传热学 Heat Transfer
内节点离散方程的推导(泰勒级数展开法)
1. 对相邻节点写出温度 t 对内节点(m, n) 的泰勒级数展开式
x : (m,n)的相邻节点为(m+1,n), (m-1,n)
y : (m,n)的相邻节点为(m,n+1), (m,n-1)
X方向
传热学 Heat Transfer
内节点离散方程的推导(泰勒级数展开法)
2. 整理得到二阶导数的中心差分
截断误差:
级数余项中的Δx的最低阶数为2
即中心差分格式具有二阶精度。
3. 由控制方程得到内节点(m,n)的离散代数方程
中心差分
传热学 Heat Transfer
内节点离散方程的推导(热平衡法)
基本思想:对每个有限大小的控制容积应用能量守恒,从而获得温度场的代数方程组,它从基本物理现象和基本定律出发,不必事先建立控制方程,依据能量守恒和Fourier导热定律即可。
从所有方向流入控制体的总热量+ 控制体内热源生成热
= 控制体内能的增量
稳态、无内热源时:
从所有方向流入控制体的总热量=0
传热学 Heat Transfer
内节点离散方程的推导(热平衡法)
(m, n)
o
y
x
(m-1,n)
(m+1,n)
(m,n-1)
x
x
y
y
(m,n+1)
对控制体每个界面线(图中虚线)应用傅立叶导热定律。