文档介绍：数值传热学
第三章离散方程的数学与物理特性分析
主讲陶文铨
西安交通大学能源与动力工程学院
热流中心 CFD-NHT-EHT CENTER
2012年9月24日, 西安
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第 3 章教学目录
离散方程的相容性、收敛性与稳定性
分析初值问题稳定性的von Neumann方
法
离散方程的守恒性
离散方程的迁移特性
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离散方程的相容性、收敛性与稳定性
截断误差及相容性
离散误差与收敛性
舍入误差与初值问题的稳定性
数值特性分析举例
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离散方程的相容性、收敛性与稳定性
截断误差及相容性(consistency)
1. 离散方程的精确解
在求解过程中不引入任何舍入误差的解,记为:
n
i , 假定可以对其做Taylor展开。
2. 微分算子与差分算子
(1)微分算子- L() in, 对函数在某点(i,n)
做某些微分运算及算术运算的算子,如:
2
LuS()( )
in,,txx2 in
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则
L() in,  0 即为一维模型方程。
n n i,n)
(2) 差分算子- Lxt, () i 对函数i 在某点( 做
某些差分及算术运算的算子,如
nn 1  nn n2 nn
L ()n iiuS ii11  i  1 ii  1n
x, ti txx2 2 i
n
则 Lxt, ()0 i 即为1-D模型方程的显式格式(时
间向前,空间二阶格式-FTCS)。
Forward time and central space
3. 离散方程的截断误差
同一地点上差分算子与微分算字之差。
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1 nn
( )定义- TE Lx, ti() L () i
nn1
(2)分析方法-将离散方程的精确解ii,1 对
点(i,n) 做Taylor展开(含时间与空间),代入离
散方程并整理成两个算子相减的形式。
对1-D模型方程的FTCS格式,展开可得
 nn1 nn n2 nn 
iiuSu ii11 i  1 ii  1n {
txx2 2 i  tx
2 
SOtx}(,) 2
x2 in,
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
 22
 n t n
n1 n ( )t ( ) ...
 i in,,2 in i
如瞬态项 i i tt2!
tt
nn1  1  2
即ii()t ....  Ot()
ttin, 2 t 2
类似地
 2
n 1 23
nn xxOx () 
 i 2
uuii11=[ xx2
22xx
2
n 1 23
(())i xxOx 2 
xx2 ]
2x

2()xOx 3

 u x
2x 7/62
nn
故得uuOxii11() (2 )
2xxin,

假设源项不存在截断误差,则:
1-D模型方程的FTCS格式的截断误差即为:
Otx(,2 )
截断误差的数学含义是:
存在着两个正的常数,K1,K2,当tx0, 0
(Ktx K 2 )
差分算字与微分算字之差小于12 。 8/62
4. 离散方程的相容性
当tx0, 0 如果离散方程的截断误差趋于
零,则称该离散方程与微分方程相容。
当离散方程的截断误差表示为 Ot(, nm x )(,0) nm
t
离散方程具有相容性;当截断误差含有项时,只有
x
当t 比x 更快地趋于零时,才具有相容性。
离散误差与收敛性
n
1. 数值解的离散误差(discretization error) i
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nn
ii(,in )
微分方程的精确解离散方程的精确解
2. 影响离散误差的因素
n
(1)截断误差:截差阶数越高,同样网格下,i 越小
(2)网格步长:同样截