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考点31 空间的角
一、填空题
1、(2011·全国高考理科·T16)己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1 、CC1上,且B1E=2EB, CF=2FC1,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于.
【思路点拨】本题应先找出两平面的交线,进而找出或做出二面角的平面角是解决此问题的关键,延长EF必与BC相交,交点为P,则AP为面AEF与面ABC的交线.
【精讲精析】.延长EF交BC的延长线于P,则AP为面AEF与面ABC的交线,因为,所以为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角.
2、(2011·全国高考文科·T15)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为.
【思路点拨】.
【精讲精析】. 取A1B1的中点M连接EM,AM,AE,,.
二、解答题
3、(2011·全国高考文科·T20)如图,四棱锥中, ∥,,侧面为等边三角形..
(Ⅰ)证明:[来源:]
(Ⅱ)求AB与平面SBC所成角的大小.
【思路点拨】第(Ⅰ)问的证明的突破口是利用等边三角形SAB这个条件,找出AB的中点E,连结SE,DE,就做出了解决这个问题的关键辅助线.
(II)本题直接找线面角不易找出,要找到与AB平行的其他线进行转移求解.
【精讲精析】证明:(I)取AB中点E,连结DE,则四边形BCDE为矩形,DE=CB=2.
连结SE,则
又SD=1,故
所以为直角.
由,得
,所以.
SD与两条相交直线AB、SE都垂直.
所以
(Ⅱ)由知,
作,垂足为F,则,[来源:学&科&网Z&X&X&K]
作,垂足为G,则FG=DC=1.
连结SG,则
又,,故,
作,H为垂足,则.
即F到平面SBC的距离为.
由于ED//BC,所以ED//平面SBC,E到平面SBC的距离d也为.
设AB与平面SBC所成的角为,则,.
解法二:
以C为坐标原点,射线CD为x轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系C-xyz,设D(1,0,0),则A(2,2,0),B(0,2,0).
又设S(x,y,z),则x>0,y>0,z>0.
(I)
由得
故.
由得,
又由得,
即,故.
于是,
故,又
所以.
(II)设平面SBC的法向量,
则
又
故
取得,又
.
故AB与平面SBC所成的角为.
4、(2011·上海高考文科·T20)已知是底面
边长为1的正四棱柱,高,求
(1)异面直线与所成角的大小(结果用反三角函
数值表示);
(2)四面体的体积
【思路点拨】本题以常见几何体正四棱柱为载体,着重考查立
体几何中的线面角、面面角、点线距等相关问题。
【精讲精析】(1)连结,则有,则异面直线与所成角即为与所成角,即,而在中,,故异面直线与所