文档介绍：难点31 数学归纳法解题
,抽象与概括,从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.
●难点磁场
(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c).
●案例探究
[例1]试证明:不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列,当n>1,n∈N*且a、b、c互不相等时,均有:>2bn.
命题意图:本题主要考查数学归纳法证明不等式,属★★★★级题目.
知识依托:等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.
错解分析:应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立,不应只证明一种情况.
技巧与方法:本题中使用到结论:(ak-ck)(a-c)>0恒成立(a、b、c为正数),从而ak+1+ck+1>ak·c+ck·a.
证明:(1)设a、b、c为等比数列,a=,c=bq(q>0且q≠1)
∴=+bnqn=bn(+qn)>2bn
(2)设a、b、c为等差数列,则2b=a+c猜想>()n(n≥2且n∈N*)
下面用数学归纳法证明:
①当n=2时,由2(a2+c2)>(a+c)2,∴
②设n=k时成立,即
则当n=k+1时, (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)
>(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)
>()k·()=()k+1
[例2]在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,an,Sn,Sn-成等比数列.
(1)求a2,a3,a4,并推出an的表达式;
(2)用数学归纳法证明所得的结论;
(3)求数列{an}所有项的和.
命题意图:本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.
知识依托:、猜想、证明.
错解分析:(2)中,Sk=-应舍去,这一点往往容易被忽视.
技巧与方法:求通项可证明{}是以{}为首项,为公差的等差数列,进而求得通项公式.
解:∵an,Sn,Sn-成等比数列,∴Sn2=an·(Sn-)(n≥2) (*)
(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=-
由a1=1,a2=-,S3=+a3代入(*)式得:a3=-
同理可得:a4=-,由此可推出:an=
(2)①当n=1,2,3,4时,由(*)知猜想成立.
②假设n=k(k≥2)时,ak=-成立
故Sk2=-·(Sk-)
∴(2k-3)(2k-1)Sk2+2Sk-1=0
∴Sk= (舍)
由Sk+12=ak+1·(Sk+1-),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk-)
由①②知,an=对一切n∈N成立.
(3)由(2)得数列前n项和Sn=,∴S=Sn=0.
●锦囊妙记
(1)数学归纳法的基本形式
设P(n)是关于自然数n的命题,若
1°P(n0)成立(奠基)
2°假设P(k)成立(k≥n0),可以推出P(k+1)成立(归纳),则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.
(2)数学归纳法的应用
具体常用数学归纳法证明:恒等式,不等式,数的整除性,几何中计算问题,数列的通项与和等.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.(★★★★★)已知f(n)=(2n