文档介绍：第十四章线性动态电路的复频域分析
主要内容
拉普拉斯变换及其与电路分析有关的性质;
②反变换的方法;
KCL、KVL和VCR的运算形式;
拉氏变换在线性电路中的应用;
⑤网络函数的定义与含义;
11/4/2018
1
基本要求
①了解拉普拉斯变换的定义,会用拉普拉斯变换的基本性质求象函数。
②掌握求拉普拉斯反变换的部分分式展开法、基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路。
③掌握应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。
④理解网络函数的的定义和极点、零点的概念;
11/4/2018
2
重点
①拉普拉斯反变换部分分式展开;
②基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路;
③应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤。
④网络函数的的定义和极点、零点的概念;
与其它章节的联系
拉氏变换:解决电路的动态分析问题。即解决第七章的问题,称之为运算法,是后续各章的基础,前几章基于变换思想的延续。
11/4/2018
3
§14-1 拉普拉斯变换的定义
1. 引言
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换,其核心是把时间函数 f(t) 与复变函数 F(s) 联系起来,把时域问题通过数学变换化为复频域问题。
两个特点:一是把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程;二是将电流和电压的初始值自动引入代数方程中,在变换处理过程中,初始条件成为变换的一部分。
由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效,所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。
11/4/2018
4
1. 定义
一个定义在[0, +∞] 区间的函数 f(t),它的拉普拉斯变换式 F(s) 定义为:
F(s)=ℒ[f(t)]=
∫
0-
∞
f(t)e-stdt
式中s=s+jw为复数,被称为复频率;
F(s)称为f(t)的象函数,
f(t)称为F(s)的原函数。
由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换,它定义为:
f(t)= ℒ-1[F(s)]=
2pj
1
∫
c-j∞
c+j∞
F(s) est dt
式中c为正的有限常数。
11/4/2018
5
象函数F(s) 存在的条件: Re[s]=s > c。
(1)定义中拉氏变换的积分从 t=0- 开始,即:
注意
在电气领域中所用到的都是有实际意义的(电压或电流)信号,它们的函数表达式f(t)都存在拉氏变换。所以应用时不再计较F(s)的存在条件。
F(s)=ℒ[f(t)]=
∫
0-
∞
f(t)e-stdt
=
∫
0-
0+
f(t)e-stdt
+
∫
0+
∞
f(t)e-stdt
它计及 t=0-至 0+ ,f(t) 包含的冲激和电路动态变量的初始值,从而为电路的计算带来方便。
(2)象函数 F(s) 一般用大写字母表示,如I(s)、U(s),
原函数f(t) 用小写字母表示,如i(t),u(t)。
11/4/2018
6
2. 典型函数的拉氏变换
(1)单位阶跃函数 f(t) = e(t)
F(s) =
∫
0-
∞
e(t) e-st dt
ℒ[e(t)]=
s
1
=
∫
0-
∞
e-st dt
= -
s
1
e-st
0-
∞
(2)单位冲激函数d(t)
F(s) =
∫
0-
∞
d(t) e-st dt
=
∫
0-
0+
d(t) e-st dt = e-s(0)
ℒ[d(t)]=1
(3)指数函数 f(t) = eat (a为实数)
F(s) =
∫
0-
∞
eat e-st dt =
∫
0-
∞
e-(s-a)t dt
=
-(s-a)
1
e- (s-a)t
0-
∞
ℒ[eat]=
s-a
1
11/4/2018
7
§14-3 拉氏反变换的部分分式展开
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时,需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法有
利用公式
f(t) =
2pj
1
∫
c-j∞
c+j∞
F(s) est dt
若象函数是,或稍加变换后是表14-1中所具有
公式涉及到以s为变量的复变函数的积分,比较复杂。工程上一般不采用这种方法。
把F(s)分解为简单项的组合,称部分分式展开法。
的形式,可直接查表得原函数。
F(s)=F1(s)+F2(s)+
f(t)=f1(t)+f2(t)+
11/4/2018
8
例:求 F(s) =
s2 + 3
1
的原函数。
解:F(s) =
查表:
3
1
s2 + (
3