文档介绍：用曲线积分求旋转曲面的面积
蜀南竹海
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作为定积分的几何应用,旋转曲面的面积一般是用定积分来计算。
本课件用对弧长的曲线积分来建立求旋转曲面的面积的公式。
将曲线积分化为定积分可以得到计算旋转曲面面积的定积分公式。
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先看特殊的情形
旋转轴为坐标轴
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设L是上半平面内的一条平面曲线。 将L绕x轴旋转一周得一旋转曲面,求该旋转曲面的面积Ax。
我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。
L
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L
在曲线L的(x,y)处取一弧微分
它到x轴的距离是 y (如图)。
该弧微分绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积约为:
(面积元素)
于是整个曲线绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为:
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命题1:上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为:
L
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命题2:右半平面内一条曲线L绕y轴旋转而成的旋转曲面的面积为:
同理
L
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下面针对不同的曲线方程 将曲线积分化为定积分 得到熟悉的旋转曲面的面积公式
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直角坐标方程
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y=f(x)
如果
L绕 x轴旋转的旋转曲面的面积为:
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